Cho các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a > 1 > b > 0\). Tính giá trị lớn nhất \({Q_{\max }}\) của biểu thức \(Q = {\log _{{a^2}}}{a^2}b + {\log _{\sqrt b }}{a^3}\).

Câu 372656: Cho các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a > 1 > b > 0\). Tính giá trị lớn nhất \({Q_{\max }}\) của biểu thức \(Q = {\log _{{a^2}}}{a^2}b + {\log _{\sqrt b }}{a^3}\).

A. \({Q_{\max }} = 1 + 2\sqrt 3 \)

B. \({Q_{\max }} = - 2\sqrt 3 \)

C. \({Q_{\max }} = - 2\)

D. \({Q_{\max }} = 1 - 2\sqrt 3 \)

Câu hỏi : 372656

Quảng cáo

Đáp án : D
(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}Q = {\log _{{a^2}}}{a^2}b + {\log _{\sqrt b }}{a^3} = \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}b} \right) + 6{\log _b}a\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {2 + {{\log }_a}b} \right) + \dfrac{6}{{{{\log }_a}b}} = 1 + \dfrac{1}{2}{\log _a}b + \dfrac{6}{{{{\log }_a}b}}\end{array}\)

Đặt \({\log _a}b = t\,\,\,\left( {a > 1 > b \Rightarrow t < 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q\left( t \right) = 1 + \dfrac{t}{2} + \dfrac{6}{t}\,\,\,\,\,\left( {t < 0} \right)\\ \Rightarrow Q'\left( t \right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{6}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = - 2\sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow Q_{m{\rm{ax}}}^{}\) tại \(t = - 2\sqrt 3 \Rightarrow Q_{m{\rm{ax}}}^{} = 1 - 2\sqrt 3 \).

Chọn D

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.