Cho các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a > 1 > b > 0\). Tính giá trị lớn nhất \({Q_{\max }}\)

Câu hỏi số 372656:

Vận dụng

Cho các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(a > 1 > b > 0\). Tính giá trị lớn nhất \({Q_{\max }}\) của biểu thức \(Q = {\log _{{a^2}}}{a^2}b + {\log _{\sqrt b }}{a^3}\).

A. \({Q_{\max }} = 1 + 2\sqrt 3 \)

B. \({Q_{\max }} = - 2\sqrt 3 \)

C. \({Q_{\max }} = - 2\)

D. \({Q_{\max }} = 1 - 2\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:372656

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}Q = {\log _{{a^2}}}{a^2}b + {\log _{\sqrt b }}{a^3} = \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}b} \right) + 6{\log _b}a\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {2 + {{\log }_a}b} \right) + \dfrac{6}{{{{\log }_a}b}} = 1 + \dfrac{1}{2}{\log _a}b + \dfrac{6}{{{{\log }_a}b}}\end{array}\)

Đặt \({\log _a}b = t\,\,\,\left( {a > 1 > b \Rightarrow t < 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Q\left( t \right) = 1 + \dfrac{t}{2} + \dfrac{6}{t}\,\,\,\,\,\left( {t < 0} \right)\\ \Rightarrow Q'\left( t \right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{6}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = - 2\sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow Q_{m{\rm{ax}}}^{}\) tại \(t = - 2\sqrt 3 \Rightarrow Q_{m{\rm{ax}}}^{} = 1 - 2\sqrt 3 \).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.