Cho các số \(x,\,y,z\) dương thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 373288:

Vận dụng cao

Cho các số \(x,\,y,z\) dương thỏa mãn: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}.\)

A. \(\frac{{25}}{8}\)

B. \(3\)

C. \(\frac{{49}}{8}\)

D. \(\frac{{49}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373288

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất kết hợp kỹ thuật chọn điểm rơi.

Giải chi tiết

\(M = \frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{{49}}{{16}}{x^2} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{16}}.\frac{{49}}{{16}}} = \frac{{14}}{{16}}\\\frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{{49}}{{16}}{y^2} \ge 2\sqrt {\frac{1}{4}.\frac{{49}}{{16}}} = \frac{7}{4}\\\frac{1}{{{z^2}}} + \frac{{49}}{{16}}{z^2} \ge 2\sqrt {1.\frac{{49}}{{16}}} = \frac{7}{2}\end{array}\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{{49}}{{16}}{x^2} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{{49}}{{16}}{y^2} + \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{{49}}{{16}}{z^2} \ge \frac{{14}}{{16}} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right) + \frac{{49}}{{16}}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge \frac{{49}}{8}\\ \Leftrightarrow M + \frac{{49}}{{16}} \ge \frac{{49}}{8}\\ \Leftrightarrow M \ge \frac{{49}}{{16}}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\\\frac{1}{{4x}} = \frac{{7x}}{4}\\\frac{1}{{2y}} = \frac{{7y}}{4}\\\frac{1}{z} = \frac{{7z}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\\7{x^2} = 1\\7{y^2} = 2\\7{z^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 7 }}{7}\\y = \frac{{\sqrt {14} }}{7}\\z = \frac{{2\sqrt 7 }}{7}\end{array} \right..\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(\frac{{49}}{{16}},\) khi \(\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {\frac{{\sqrt 7 }}{7};\,\,\frac{{\sqrt {14} }}{7};\,\,\frac{{2\sqrt 7 }}{7}} \right).\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link