Cho tam giác ABC có \(AB = 2BC\), từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song
Cho tam giác ABC có \(AB = 2BC\), từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.
a) Chứng minh tứ giác MBCN là hình bình hành.
b) Chứng minh \(BN \bot AN.\)
c) Gọi D là giao điểm của MN với AC, E là giao điểm của MC với BN, F là giao điểm của ED với AN. Chứng minh \(DE = DF.\)
d) Gọi G là giao điểm của AE với MN. Chứng minh B, G, F thẳng hàng.
Quảng cáo
Sử dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình bình hành, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông, chứng minh tam giác bằng nhau và tính chất trọng tâm của tam giác.
a) Tứ giác \(BMNC\) có: \(MN\,{\rm{//}}\,BC,\,CN\,{\rm{//}}\,BM\) nên \(BMNC\) là hình bình hành. (dhnb)
b) Vì \(BMNC\) là hình bình hành (cmt) nên \(MN = BC.\)
Lại có \(BC = \frac{1}{2}AB \Rightarrow MN = \frac{1}{2}AB\).
Tam giác \(\Delta ABN\) có đường trung tuyến \(NM\) bằng nửa cạnh đối \(AB\) nên tam giác \(ABN\) vuông tại \(N,\) hay \(AN\) vuông góc với \(BN.\) (đpcm).
c) Tứ giác \(AMCN\) có \(CN\,{\rm{//}}\,AM,\,CN = AM\,\left( { = BM} \right)\)
\( \Rightarrow AMCN\) là hình bình hành (dhnb)\( \Rightarrow DC = DA,CM\,{\rm{//}}\,NA.\)(tính chất)
Xét \(\Delta ABC\) ta có:
\(M\) là trung điểm của \(AB\)
\(MD//BC\,\,\left( {Mx//CD} \right)\)
\( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(AC\) (định lý đảo).
\( \Rightarrow AD = DC.\)
Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta CDE\) có:
\(DA = DC\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\angle ADF = \angle CDE\) (hai góc đối đỉnh)
\(\angle DAF = \angle DCE\) (hai góc so le trong)
\( \Rightarrow \Delta ADF = \Delta CDE\,\,\,\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow DE = DF\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
d) Ta có: \(\Delta ADF = \Delta CDE\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AF = EC.\)
Mà \(CM = AN\) (\(AMCN\) là hình bình hành) và \(CE = \frac{1}{2}CM \Rightarrow AF = \frac{1}{2}AN\)
Vậy \(F\) là trung điểm \(AN.\)
Xét tam giác \(ABN\) có \(G\) là giao của hai đường trung tuyến \(AE\) và \(NM\) nên \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABN\)
\( \Rightarrow BG\) đi qua trung điểm \(F\) của \(AN \Rightarrow B,\,\,G,\,\,F\) thẳng hàng.
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
