Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C,\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r =

Câu hỏi số 373297:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C,\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r = 5\,cm\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(OC,\) đường thẳng \(AI\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(D.\) Qua \(A\) vẽ tiếp tuyến \(Ax\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Đường thẳng qua \(O\) vuông góc với \(AI\) cắt \(Ax\) tại \(K.\)

a) Chứng minh rằng \(KD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

b) Chứng minh rằng \(DA = 2DB\).

c) Tính độ dài đường cao vẽ từ \(D\) của tam giác \(DAB.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373297

Phương pháp giải

a) Dựa vào hai tam giác bằng nhau để chứng minh \(OD \bot KD\),từ đó sẽ suy ra \(KD\) là tiếp tuyến cua đường tròn.

b) Sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số độ dài.

c) Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng về chiều cao trong tam giác vuông \(DAB.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng \(KD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Xét \(\Delta AOD\) cân tại \(O\) ta có: \(OK \bot AD\)

\( \Rightarrow OK\) là đường cao đồng thời là phân giác của \(\angle AOD\)(tính chất)

\( \Rightarrow \angle AOK = \angle DOK\)

Xét \(\Delta AOK\) và \(\Delta DOK\)có:

\(\begin{array}{l}OA = OD\,\,\,\left( { = r} \right)\\\angle AOK = \angle DOK\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\OK\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta AOK = \Delta DOK\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle OAK = \angle ODK = {90^0}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow KD \bot OD\)

Vậy \(KD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

b) Chứng minh rằng \(DA = 2DB\).

Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(C,\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\)

\( \Rightarrow AB\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\) và \(CO \bot AB = \left\{ O \right\}\)

Xét \(\Delta DAB\) cũng nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\Delta DAB\) vuông tại \(D\) (tính chất).

Xét \(\Delta DAB\)và \(\Delta OAI\)có:

\(\begin{array}{l}\angle OAI\,\,\,\,chung\\\angle ADB = \angle AOI = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta DAB \sim \Delta OAI\,\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)chung ; \(\angle ADB = \angle AOI = {90^0}\)

\( \Rightarrow \frac{{DA}}{{OA}} = \frac{{DB}}{{OI}} \Rightarrow \frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{OA}}{{OI}} = 2\) (Do \(I\) là trung điểm của \(OC\))

Vậy \(DA = 2DB\).

c) Tính độ dài đường cao vẽ từ \(D\) của tam giác \(DAB.\)

Gọi \(DH\) là đường cao vẽ từ \(D\) của \(\Delta DAB.\)

Theo chứng minh của câu b) ta có: \(DA = 2DB\)

Mà \(\Delta DAB\) vuông tại \(D\) nên theo định lý Pytago ta có:

\(\begin{array}{l}D{A^2} + D{B^2} = A{B^2}\\ \Rightarrow {\left( {2DB} \right)^2} + D{B^2} = {\left( {2r} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 5D{B^2} = 4{r^2}\\ \Leftrightarrow 5D{B^2} = {4.5^2} = 100\\ \Rightarrow D{B^2} = 20\,\,\left( {cm} \right);\,\,\\ \Rightarrow D{A^2} = 4D{B^2} = 80\,\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Áp dụng công thức hệ thức lượng trong \(\Delta DAB\) vuông tại\(D\) có là đường cao ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{D{A^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{80}} + \frac{1}{{20}} = \frac{5}{{80}} = \frac{1}{{16}}\\ \Rightarrow D{H^2} = 16 \Rightarrow DH = \,4\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vậy đường cao kẻ từ \(D\) của \(\Delta DAB\) là \(DH = 4cm.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link