Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right),\) đường cao \(AH.\) Trên đoạn \(HC\)

Câu hỏi số 374591:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right),\) đường cao \(AH.\) Trên đoạn \(HC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(HD = HB,\) vẽ \(CE\) vuông góc với \(AD\,\,\,\left( {E \in AD} \right).\)

a) Chứng minh tứ giác \(AHEC\) nội tiếp, xác định tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AHEC.\)

b) Chứng minh \(CH\) là tia phân giác của góc \(\angle ACE.\)

c) Tính diện tích giới hạn bởi đoạn thẳng \(CA,CH\) và cung nhỏ \(AH\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AHEC.\) Biết \(CA = 6cm\,\,;\,\,\angle ACB = {30^0}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:374591

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\angle AHC = \angle AEC\).

b) Chứng minh \(\angle ACH = \angle ECH\).

c) Sử dụng các công thức tính diện tích hình quạt tròn.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(AHEC\) nội tiếp, xác định tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AHEC.\)

Ta có: \(\angle AHC = {90^0}\,\,\left( {do\,\,AH \bot BC} \right)\)

Và \(\angle AEC = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,AE \bot EC} \right)\)

Xét tứ giác \(AHEC\) có \(E,H\) là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh \(AC\) dưới một góc \(\alpha = {90^0}\,\,\,\left( {\angle AHC = \angle AEC = {{90}^0}} \right)\)

Suy ra: Tứ giác \(AHEC\) là tứ giác nội tiếp.

Tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AHEC\) là trung điểm của cạnh \(AC.\)

b) Chứng minh \(CH\) là tia phân giác của góc \(\angle ACE.\)

Vì tứ giác \(AHEC\) là tứ giác nội tiếp nên: \(\angle ACH = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,AH\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cùng cung \(AH\)) \(\left( 1 \right)\)

Theo câu a, tứ giác \(AHEC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AC\)

Theo đề bài: \(\angle BAC = {90^0}\) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))

\( \Rightarrow AB\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O,\) đường kính \(AC\)

\( \Rightarrow \angle BAH = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,AH\) (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(\angle ACH = \angle BAH\,\,\,\left( 3 \right)\)

Vì tứ giác \(AHEC\) là tứ giác nội tiếp nên:

\(\angle EAH = \angle ECH = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,EH\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cùng cung \(AH\)) \(\left( 3 \right)\)

Xét \(\Delta ABD\) có \(AH\) là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến

\( \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại \(A\)

\( \Rightarrow AH\) là phân giác của \(\Delta ABD\,\, \Rightarrow \angle BAH = \angle EAH\,\,\,\left( 5 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\) suy ra: \(\angle ACH = \angle ECH\)

Vậy \(CH\) là tia phân giác của \(\angle ACE.\)

c) Tính diện tích giới hạn bởi đoạn thẳng \(CA,CH\) và cung nhỏ \(AH\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AHEC.\) Biết \(CA = 6cm\,\,;\,\,\angle ACB = {30^0}.\)

Gọi diện tích hình quạt \(AOH\) là \({S_q} = \frac{{\pi {R^2}.\angle AOH}}{{{{360}^0}}}\)

Diện tích cần tính là: \({S_q} + {S_{OHC}}\)

Theo đề bài, \(AC = 6cm,\,\,O\) là trung điểm của \(AC\)

\( \Rightarrow OA = OC = R = 3cm\)

Ta lại có: \(OH = OC = R = 3cm\)

\( \Rightarrow \Delta OHC\) cân tại \(O\)

\( \Rightarrow \angle OHC = \angle OCH = {30^0}\,\,\,\left( {do\,\,\angle ACB = {{30}^0}} \right)\)

\( \Rightarrow \angle AOH = \angle OHC + \angle OCH = {30^0} + {30^0} = {60^0}\) (Góc ngoài của tam giác)

\({S_q} = \frac{{\pi {{.3}^2}{{.60}^0}}}{{{{360}^0}}} = \frac{{\pi {{.3}^2}}}{{62}} = \frac{3}{2}\pi \,\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(HC\)

\( \Rightarrow OM \bot HC\) (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\({S_{OHC}} = \frac{1}{2}.OM.HC\)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) có:

\(\cos \angle ACH = \frac{{HC}}{{AC}}\,\, \Rightarrow HC = AC.\cos \angle ACH = AC.\cos {30^0} = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(HC\) nên \(HM = \frac{{HC}}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link