Cho hàm số \(y = {x^2} + \left( {3 - m} \right)x + {m^2} - 1\,\,\left( 1 \right),m\) là tham số. a) Khảo sát

Câu hỏi số 374919:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^2} + \left( {3 - m} \right)x + {m^2} - 1\,\,\left( 1 \right),m\) là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi \(m = - 1.\)

b) Tìm giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = 2\left( {1 - m} \right)x - m\) cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B.\) Khi đó, tìm tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) theo tham số \(m\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:374919

Phương pháp giải

a) Thay \(m = - 1\) vào hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b) Lập phương trình hoành độ giao điểm và sử dụng công thức trung điểm.

Giải chi tiết

a) Khi \(m = - 1\) ta có hàm số: \(y = {x^2} + 4x\)

Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( { - 2; - 4} \right).\)

Hàm số đồng nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên \(\left( { - 2; + \infty } \right).\)

Đồ thị hàm số:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(\left( 1 \right)\) và \(\left( d \right):\)

\(\begin{array}{l}{x^2} + \left( {3 - m} \right)x + {m^2} - 1 = 2\left( {1 - m} \right)x - m\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m + 1} \right)x + {m^2} + m - 1 = 0.\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

\(\left( d \right)\) và \(\left( 1 \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + m - 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 4{m^2} - 4m + 4 > 0\\ \Leftrightarrow - 3{m^2} - 2m + 5 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( { - 3m - 5} \right) > 0\\ \Leftrightarrow - \frac{5}{3} < m < 1.\end{array}\)

Gọi \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right)\) là hai giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Khi đó ta có: \({x_A};\,\,{x_B}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right).\)

Áp dụng định lý Vi-ét ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = - m - 1\\{x_A}.{x_B} = {m^2} + m - 1\end{array} \right..\)

Khi đó trung điểm \(M\) của \(AB\) có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2\left( {1 - m} \right){x_A} - m + 2\left( {1 - m} \right){x_B} - m}}{2}\end{array} \right..\)

\({x_A} + {x_B} = - m - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{ - m - 1}}{2}\\{y_M} = \frac{{2\left( {1 - m} \right)\left( { - m - 1} \right) - 2m}}{2} = {m^2} - m - 1.\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( { - m - 1;{m^2} - m - 1} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.