Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c +

Câu hỏi số 375162:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng:

\(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \le 3\sqrt 5 .\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:375162

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {4a + 1} .\sqrt 5 \le \frac{{\left( {4a + 1} \right) + 5}}{2}\\ \Rightarrow \sqrt {4a + 1} \le \frac{{2a + 3}}{{\sqrt 5 }}.\end{array}\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4b + 1} \le \frac{{2b + 3}}{{\sqrt 5 }}\\\sqrt {4c + 1} \le \frac{{2c + 3}}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right..\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \le \frac{{2\left( {a + b + c} \right) + 9}}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow \sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \le \frac{{2.3 + 9}}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow \sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \le 3\sqrt 5 .\end{array}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1.\)

Vậy \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \le 3\sqrt 5 .\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.