Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c +

Câu hỏi số 375162:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng:

\(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \le 3\sqrt 5 .\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:375162

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {4a + 1} .\sqrt 5 \le \frac{{\left( {4a + 1} \right) + 5}}{2}\\ \Rightarrow \sqrt {4a + 1} \le \frac{{2a + 3}}{{\sqrt 5 }}.\end{array}\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4b + 1} \le \frac{{2b + 3}}{{\sqrt 5 }}\\\sqrt {4c + 1} \le \frac{{2c + 3}}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right..\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \le \frac{{2\left( {a + b + c} \right) + 9}}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow \sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \le \frac{{2.3 + 9}}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow \sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \le 3\sqrt 5 .\end{array}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1.\)

Vậy \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} \le 3\sqrt 5 .\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10