Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T= 2(a3 + b3 + c3 + 3abc ) + 3(a2 + b2 + c2 + 2abc)

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 37529:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T= 2(a³ + b³+ c³+ 3abc ) + 3(a²+ b²+ c²+ 2abc)

A. Min T = -1

B. Min T = 1

C. Min T = - $\frac{5}{3}$

D. Min T = $\frac{5}{3}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:37529

Giải chi tiết

T = 2(a³+ b³+ c³+ 3abc ) + 3(a²+ b²+ c²+ 2abc)

Ta có a³+ b³+ c³ = (a + b + c)³ – 3(a + b)(b + c)(c + a)

=1 - 3(1 - c)(1 - a)(1 - b) = 1 - 3(ac + bc + ca – abc)

a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca) = 1 - 2(ab + bc + ca)

Do đó: T = 5 - 6[2(ab + bc + ca)- 3abc]

Đặt S = 2(ab + bc + ca) – 3abc. Ta tìm giá trị lớn nhất của S

Ta có S = ab(2 - 3c) + 2c (a + b)

Nếu 2 – 3c < 0 ⇔ c > $\frac{2}{3}$ thì S < 2c(a + b)

Nếu 2 - 3c >0 ⇔ c < $\frac{2}{3}$ thì S = ab(2 - 3c) + 2c(a + b) > 2c(a + b)

Suy ra: Chỉ cần xét 0 < c < $\frac{2}{3}$

Ta có S = 2c(1 - c) + (2 - 3c)ab ≤ 2c(1 - c) + (2 - 3c)( $(\frac{a+b}{2})^{2}$ ;

a + b = 1- c => S ≤ $\frac{-3c^{3}+c+2}{4}$

Xét hàm số f(c) = -3c³ + c + 2 trên (0; $\frac{2}{3}$ )

Ta được: f(c) ≤ f( $\frac{1}{3}$ ) = $\frac{20}{9}$ => S ≤ $\frac{5}{9}$ . Dấu = xảy ra khi a = b = c = $\frac{1}{3}$

Vậy: MinT = $\frac{5}{3}$ xảy ra khi a = b = c = $\frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.