.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3, 4 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số: \(y = - {x^3} + 3x + 1\)

Xem lời giải

Câu hỏi:377263

Phương pháp giải

- Tìm TXĐ. - Xét sự biến thiên. + Tìm các giới hạn tại vô cực. + Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến. + Tìm cực trị (nếu có). + Lập bảng biến thiên. - Vẽ đồ thị hàm số. * Tập xác định:\(D = \mathbb{R}\), * Chiều biến thiên: +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \) +) \(y' = - 3{x^2} + 3\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ; - 1),(1; + \infty )\). Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\). Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 3\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1,{y_{CT}} = - 1\). Bảng biến thiên:

* Đồ thị: +) Có \(y'' = - 6x\); \(y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 1\) nên điểm uốn \(U\left( {0;1} \right)\). +) Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;1} \right)\). +) Vẽ đồ thị:

Giải chi tiết

* Tập xác định:\(D = \mathbb{R}\),

* Chiều biến thiên:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \)

+) \(y' = - 3{x^2} + 3\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ; - 1),(1; + \infty )\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 3\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1,{y_{CT}} = - 1\).

Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

+) Có \(y'' = - 6x\); \(y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 1\) nên điểm uốn \(U\left( {0;1} \right)\).

+) Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;1} \right)\).

+) Vẽ đồ thị:

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Chỉ ra phép biến hình biến \(\left( C \right)\) thành đồ thị \(\left( {C'} \right)\) của hàm số: \(y = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)

Xem lời giải

Câu hỏi:377264

Phương pháp giải

Nhận xét dạng hàm số của \(\left( {C'} \right)\) so với \(\left( C \right)\), từ đó suy ra phép biến hình cần tìm.

Giải chi tiết

Tịnh tiến \(\left( C \right)\) song song với trục \(Ox\) sang trái \(1\) đơn vị, ta được đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) của hàm số \(y = f(x) = - {(x + 1)^3} + 3(x + 1) + 1\) hay \(f(x) = - {(x + 1)^3} + 3x + 4\) \(\left( {{C_1}} \right)\).

Lấy đối xứng \(\left( {{C_1}} \right)\) qua trục \(Ox\), ta được đồ thị \(\left( {C'} \right)\) của hàm số \(y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)

Câu hỏi số 3:

Vận dụng

Dựa vào đồ thị \(\left( {C'} \right)\), biện luận theo \(m\) số nghiệm của phương trình: \({(x + 1)^3} = 3x + m\)

Xem lời giải

Câu hỏi:377265

Phương pháp giải

- Biến đổi phương trình về dạng \({(x + 1)^3} - 3x - 4 = m - 4\). - Từ đồ thị \(\left( {C'} \right)\) đã dựng và mối tương quan giữa số nghiệm của phương trình với tương giao đồ thị để biện luận.

Giải chi tiết

Ta có: \({(x + 1)^3} = 3x + m\)\( \Leftrightarrow {(x + 1)^3} - 3x - 4 = m - 4\)

Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đường \(y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4\) \(\left( {C'} \right)\;\) và\(y = m-4\)\(\left( {{d_1}} \right)\)

Từ đồ thị, ta suy ra:

+) Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m - 4 < - 3\\m - 4 > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\) thì phương trình đã cho có một nghiệm.

+) Nếu \(\left[ \begin{array}{l}m - 4 = - 3\\m - 4 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 5\end{array} \right.\) phương trình đã cho có hai nghiệm.

+) Nếu\( - 3 < m - 4 < 1 \Leftrightarrow 1 < m < 5\), phương trình đã cho có ba nghiệm.

Câu hỏi số 4:

Vận dụng

Viết phương trình tiếp tuyến \(\left( d \right)\) của đồ thị \(\left( {C'} \right)\), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(y = - \dfrac{x}{9} + 1\)

Xem lời giải

Câu hỏi:377266

Phương pháp giải

- Tìm hệ số góc \(k\) của \(d\), sử dụng tính chất hai đường thẳng vuông góc nếu tích hai hệ số góc bằng \( - 1\). - Giải phương trình \(y' = k\) tìm hoành độ tiếp điểm, suy ra tung độ. - Viết phương trình tiếp tuyến tho công thức \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Giải chi tiết

Vì \(\left( d \right)\) vuông góc với đường thẳng \(y = - \dfrac{x}{9} + 1\) nên ta có hệ số góc bằng \(9\).

Ta có: \(g'(x) = 3{(x + 1)^2} - 3\)

\(g'(x) = 9 \Leftrightarrow 3{\left( {x + 1} \right)^2} - 3 = 9\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\x + 1 = - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = - 3 \Rightarrow y = - 3\end{array} \right.\)

+ Với \(x = 1,y = 1\) ta có tiếp tuyến: \(y = 9\left( {x - 1} \right) + 1\) hay \(y = 9x - 8\).

+ Với \(x = - 3,y = - 3\) ta có tiếp tuyến: \(y = 9\left( {x + 3} \right) - 3\) hay \(y = 9x + 24\).

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là: \(y = 9x - 8\) và \(y = 9x + 24\).

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.