Cho hàm số: \(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\) (1)

Trả lời cho các câu 1, 2, 3, 4 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của \(m\).

Xem lời giải

Câu hỏi:377271

Phương pháp giải

- Biến đổi hàm số về phương trình ẩn \(m\) với tham số là \(x,y\). - Cho các hệ số của \(m\) và hệ số tự do bằng \(0\) rồi tìm \(x,y\) và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có: \(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)m + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\)

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm \(A\left( {x;y} \right)\) với mọi \(m\) khi \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = - 7\\x = - 1;y = - 1\end{array} \right.\)

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm \(\left( {1; - 7} \right)\) và \(\left( { - 1; - 1} \right).\)

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.

Xem lời giải

Câu hỏi:377272

Phương pháp giải

Hàm số đa thức bậc ba luôn có cực trị nếu \(y' = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt với \(\forall m\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2(m + 4)x - 4\); \(\Delta ' = {(m + 4)^2} + 12 > 0,\forall m\)

Do dó phương trình \(y' = 0\) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

Câu hỏi số 3:

Vận dụng

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi \(m = 0\)

Xem lời giải

Câu hỏi:377273

Phương pháp giải

Khảo sát tóm tắt: + Thay \(m = 0\) vào hàm số đã cho. + Tính \(y'\). + Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết

Với \(m = 0\) ta được hàm số \(y = {x^3} - 4{x^2} - 4x\).

Có \(y' = 3{x^2} - 8x - 4\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{4 \pm 2\sqrt 7 }}{3}\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Câu hỏi số 4:

Vận dụng

Xác định \(k\) để (C) cắt đường thẳng \(y = kx\) tại ba điểm phân biệt.

Xem lời giải

Câu hỏi:377274

Phương pháp giải

- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm đặc biệt. - Từ đó suy ra điều kiện của \(k\).

Giải chi tiết

Với \(m = 0\) ta có:\(y = {x^3}-4{x^2}-4x\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3}-4{x^2}-4x = kx\) (2)

Đường thẳng\(y = kx\) cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.

Có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - 4x - \left( {k + 4} \right)} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4x - \left( {k + 4} \right) = 0\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = k + 8 > 0\\k \ne - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k > - 8\\k \ne - 4\end{array} \right.\).

Vậy với \(k > - 8\) và \(k \ne - 4\) thì \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(y = kx\) tại ba điểm phân biệt.

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.