Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình sau vô nghiệm? \({\left( {3

Câu hỏi số 377413:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình sau vô nghiệm?

\({\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - 4x + 2m}} - {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{4{x^2} + 4mx + 4}} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2} + \left( {2m + 2} \right)x + 2 - m}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{3{x^2} + \left( {6m + 6} \right)x + 6 - 3m}}\)

A. \(0\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:377413

Giải chi tiết

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - 4x + 2m}} - {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{4{x^2} + 4mx + 4}} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{{x^2} + \left( {2m + 2} \right)x + 2 - m}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{3{x^2} + \left( {6m + 6} \right)x + 6 - 3m}}\\ \Leftrightarrow {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - 4x + 2m}} - {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{4{x^2} + 4mx + 4}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{3{x^2} + \left( {6m + 6} \right)x + 6 - 3m}} - {\left( {\dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }}} \right)^{{x^2} + \left( {2m + 2} \right)x + 2 - m}}\\ \Leftrightarrow {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - 4x + 2m}} - {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{4{x^2} + 4mx + 4}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{3{x^2} + \left( {6m + 6} \right)x + \left( {6 - 3m} \right)}} - {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - {x^2} - \left( {2m + 2} \right)x - 2 + m}}\\ \Leftrightarrow {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - 4x + 2m}}\left( {1 - {{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}^{2{x^2} + \left( {4m + 4} \right)x + 4 - 2m}}} \right) = - {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - {x^2} - \left( {2m + 2} \right)x - 2 + m}}\left( {1 - {{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{4{x^2} + \left( {8m + 8} \right)x + 8 - 4m}}} \right)\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} + \left( {2m + 2} \right)x + 2 - m\) khi đó phương trình trên trở thành

\({\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2{x^2} - 4x + 2m}}\left( {1 - {{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}^{2t}}} \right) = - {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - t}}\left( {1 - {{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{4t}}} \right)\)

Nhận xét: với \(a > 0\) thì \({a^k} > 0\,\,\,\forall k\).

Nếu \(t > 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2t}} > 1\\{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{4t}} > 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}VT > 0\\VP < 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình trên vô nghiệm.

\(\begin{array}{l}t > 0\,\,\,\forall x \Rightarrow {x^2} + \left( {2m + 2} \right)x + 2 - m > 0\,\,\forall x\\ \Leftrightarrow \Delta ' < 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {2 - m} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 2 + m < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2} < m < \dfrac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\\m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0} \right\}\end{array}\)

Nếu \(t < 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)^{2t}} < 1\\{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{4t}} < 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}VT < 0\\VP > 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình trên cũng vô nghiệm.

Tuy nhiên \(t < 0 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2m + 2} \right)x + 2 - m < 0\), chỉ xảy ra tại một số giá trị của \(x\) (không thỏa mãn).

Nếu \(t = 0\) thì \(VT = VT = 0\,\,\,\,\left( {Loai} \right)\)

Vậy có tất cả 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.