Cho hình chóp \(S.ABC\) có dáy là tam giác đều cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác vuông cân

Câu hỏi số 377454:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có dáy là tam giác đều cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) theo \(a\)?

A. \(\dfrac{{4\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{27}}\)

B. \(\dfrac{{4\pi {a^2}}}{3}\)

C. \(\dfrac{{\pi {a^2}}}{3}\)

D. \(\dfrac{{4\pi {a^2}}}{9}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:377454

Phương pháp giải

- Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\)

- Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp đó.

- Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp được tính bởi công thức \(S = 4\pi {R^2}\)

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Mặt khác \(SAB\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(G\) là trọng tâm tam giác thì \(GA = GB = GC\)

\(AB = a \Rightarrow CH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}GH = \dfrac{1}{3}CH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}a\\CG = \dfrac{2}{3}CH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\end{array} \right.\)

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên \(SH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\)

\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot HG \Rightarrow SG = \sqrt {S{H^2} + H{G^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{2}a} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}a} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\)

Suy ra \(GS = GA = GB = GC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\), do vậy \(G\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và \(R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\)

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a} \right)^2} = \dfrac{{4\pi {a^2}}}{3}\).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.