Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng \(36\), độ dài một đường chéo bằng
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng \(36\), độ dài một đường chéo bằng \(6\). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp chữ nhật đó.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi hình chữ nhật có kích thước như hình vẽ.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{tp}} = 2ab + 2bc + 2ca = 36\\BD' = \sqrt {BB{'^2} + B'D{'^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab + bc + ca = 18\\{a^2} + {b^2} + {b^2} = 36\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 72\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = 72 \Leftrightarrow a + b + c = 6\sqrt 2 \end{array}\)
Do \(a,\,\,b,\,\,c\) bình đẳng, không mất tính tổng quát ta giả sử \(a = \min \left\{ {a;b;} \right\} \Rightarrow a \le 2\sqrt 2 \).
Mặt khác
\(\begin{array}{l}ab + ac + bc = 18 \Rightarrow bc = 18 - a\left( {b + c} \right) = 18 - a\left( {6\sqrt 2 - a} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} - 6\sqrt 2 a + 18 = {\left( {a - 3\sqrt 2 } \right)^2}\end{array}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow V = abc = a{\left( {a - 3\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{2}2a{\left( {3\sqrt 2 - a} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2a + 3\sqrt 2 - a + 3\sqrt 2 - a}}{3}} \right]^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}{\left( {2\sqrt 2 } \right)^3} = 8\sqrt 2 \end{array}\)
Vậy \({V_{\max }} = 8\sqrt 2 \Leftrightarrow 2a = 3\sqrt 2 - a \Leftrightarrow a = \sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
