Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng \(36\), độ dài một đường chéo bằng
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng \(36\), độ dài một đường chéo bằng \(6\). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp chữ nhật đó.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi hình chữ nhật có kích thước như hình vẽ.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{tp}} = 2ab + 2bc + 2ca = 36\\BD' = \sqrt {BB{'^2} + B'D{'^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab + bc + ca = 18\\{a^2} + {b^2} + {b^2} = 36\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 72\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = 72 \Leftrightarrow a + b + c = 6\sqrt 2 \end{array}\)
Do \(a,\,\,b,\,\,c\) bình đẳng, không mất tính tổng quát ta giả sử \(a = \min \left\{ {a;b;} \right\} \Rightarrow a \le 2\sqrt 2 \).
Mặt khác
\(\begin{array}{l}ab + ac + bc = 18 \Rightarrow bc = 18 - a\left( {b + c} \right) = 18 - a\left( {6\sqrt 2 - a} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} - 6\sqrt 2 a + 18 = {\left( {a - 3\sqrt 2 } \right)^2}\end{array}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow V = abc = a{\left( {a - 3\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{2}2a{\left( {3\sqrt 2 - a} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2a + 3\sqrt 2 - a + 3\sqrt 2 - a}}{3}} \right]^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}{\left( {2\sqrt 2 } \right)^3} = 8\sqrt 2 \end{array}\)
Vậy \({V_{\max }} = 8\sqrt 2 \Leftrightarrow 2a = 3\sqrt 2 - a \Leftrightarrow a = \sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
