Cho \(x,y\) là các số dương thỏa mãn \(x \ge 2y.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) với \(M = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}}.\)

Câu 378568: Cho \(x,y\) là các số dương thỏa mãn \(x \ge 2y.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) với \(M = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}}.\)

A. \({M_{\min }} = \frac{3}{2}\)

B. \({M_{\min }} = \frac{5}{2}\)

C. \({M_{\min }} = \frac{1}{2}\)

D. \({M_{\min }} = 2\)

Câu hỏi : 378568

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: với \(a,b > 0\) thì \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Đáp án : B
(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(x,y > 0\,\,;\,\,x \ge 2y\,\, \Rightarrow \frac{x}{y} \ge 2\)

\(\begin{array}{l}M = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} = \frac{{{x^2}}}{{xy}} + \frac{{{y^2}}}{{xy}} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x}{{4y}} + \frac{y}{x} + \frac{{3x}}{{4y}}\\\,\,\,\,\,\,\, \ge 2\sqrt {\frac{x}{{4y}}.\frac{y}{x}} + \frac{{3x}}{{4y}} = 2.\sqrt {\frac{1}{4}} + \frac{3}{4}.2 = \frac{5}{2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{4y}} = \frac{y}{x}\\\frac{x}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 4{y^2}\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 2y\\x = - 2y\end{array} \right.\\x = 2y\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow x = 2y\)

Vậy \({M_{\min }} = \frac{5}{2}\) khi \(x = 2y.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.