Cho điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Từ \(M\) kẻ các tiếp tuyến

Câu hỏi số 378567:

Vận dụng

Cho điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Từ \(M\) kẻ các tiếp tuyến \(MA,MB\) tới đường tròn tâm \(O\) (\(A,B\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(MO\) với \(AB.\)

1) Chứng minh rằng bốn điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh rằng \(MO \bot AB\) tại \(H.\)

3) Nếu \(OM = 2R\) hãy tính độ dài \(MA\) theo \(R\) và số đo các góc \(\angle AMB,\angle AOB?\)

4) Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right),\,\,MD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(C.\) Chứng minh rằng \(\angle MHC = \angle ADC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378567

Phương pháp giải

1) Sử dụng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.

2) Sử dụng: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

3) Sử dụng: Định lý Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn và tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

4) Sử dụng: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, chứng minh hai tam giác \(\Delta MHC\) và \(\Delta MDO\) đồng dạng từ đó suy ra các góc tương ứng bằng nhau.

Giải chi tiết

1) Chứng minh rằng bốn điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc một đường tròn.

\(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \(M\) đến đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)

\( \Rightarrow \angle OAM = \angle OBM = {90^0}\)

\( \Rightarrow A,B\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

\( \Rightarrow M,A,O,B\) cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

2) Chứng minh rằng \(MO \bot AB\) tại \(H.\)

\(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \(M\) đến đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)

\( \Rightarrow MA = MB\) và \(MO\) là tia phân giác của \(\angle AMB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó \(MO\) đồng thời là đường cao của tam giác cân \(AMB\)

Suy ra \(MO \bot AB\) tại \(H.\)

3) Nếu \(OM = 2R\) hãy tính độ dài \(MA\) theo \(R\) và số đo các góc \(\angle AMB,\angle AOB?\)

\(\angle OAM = {90^0}\,\, \Rightarrow \Delta OAM\) vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow O{M^2} = O{A^2} + M{A^2}\,\,\) (định lý Py-ta-go)

\( \Rightarrow M{A^2} = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \)

Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông \(OAM\) ta được:

\(\sin \angle AOM = \frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{{2R}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\, \Rightarrow \angle AOM = {60^0}\)

Do \(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \(M\) đến đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)

\( \Rightarrow OM\) là tia phân giác của \(\angle AOB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \angle AOB = 2.\angle AOM = {2.60^0} = {120^0}\)

4) Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right),\,\,MD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(C.\) Chứng minh rằng \(\angle MHC = \angle ADC.\)

\(\Delta OAM\) vuông tại \(A\) có \(AH \bot OM\,\, \Rightarrow A{M^2} = MH.MO\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\angle ACD = {90^0}\) (do \(AD\) là đường kính) \( \Rightarrow AC \bot DM\)

\(\angle OAM = {90^0}\) hay \(\angle DAM = {90^0}\,\, \Rightarrow \Delta ADM\) vuông tại \(A\) có \(AC \bot DM\,\, \Rightarrow A{M^2} = MC.MD\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\,\, \Rightarrow MH.MO = MC.MD\,\,\left( { = A{M^2}} \right)\,\, \Rightarrow \frac{{MH}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MO}}\)

Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta MDO\) có:

\(\begin{array}{l}\angle OMD\,\,\,chung\\\frac{{MH}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MO}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MHC \sim \Delta MDO\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \angle MHC = \angle ADC\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link