Cho điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Từ \(M\) kẻ các tiếp tuyến \(MA,MB\) tới đường tròn tâm \(O\) (\(A,B\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(MO\) với \(AB.\)
1) Chứng minh rằng bốn điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh rằng \(MO \bot AB\) tại \(H.\)
3) Nếu \(OM = 2R\) hãy tính độ dài \(MA\) theo \(R\) và số đo các góc \(\angle AMB,\angle AOB?\)
4) Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right),\,\,MD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(C.\) Chứng minh rằng \(\angle MHC = \angle ADC.\)
Câu 378567: Cho điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Từ \(M\) kẻ các tiếp tuyến \(MA,MB\) tới đường tròn tâm \(O\) (\(A,B\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(MO\) với \(AB.\)
1) Chứng minh rằng bốn điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh rằng \(MO \bot AB\) tại \(H.\)
3) Nếu \(OM = 2R\) hãy tính độ dài \(MA\) theo \(R\) và số đo các góc \(\angle AMB,\angle AOB?\)
4) Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right),\,\,MD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(C.\) Chứng minh rằng \(\angle MHC = \angle ADC.\)
1) Sử dụng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền.
2) Sử dụng: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
3) Sử dụng: Định lý Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn và tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
4) Sử dụng: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, chứng minh hai tam giác \(\Delta MHC\) và \(\Delta MDO\) đồng dạng từ đó suy ra các góc tương ứng bằng nhau.
-
Giải chi tiết:
1) Chứng minh rằng bốn điểm \(M,A,O,B\) cùng thuộc một đường tròn.
\(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \(M\) đến đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)
\( \Rightarrow \angle OAM = \angle OBM = {90^0}\)
\( \Rightarrow A,B\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)
\( \Rightarrow M,A,O,B\) cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
2) Chứng minh rằng \(MO \bot AB\) tại \(H.\)
\(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \(M\) đến đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)
\( \Rightarrow MA = MB\) và \(MO\) là tia phân giác của \(\angle AMB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó \(MO\) đồng thời là đường cao của tam giác cân \(AMB\)
Suy ra \(MO \bot AB\) tại \(H.\)
3) Nếu \(OM = 2R\) hãy tính độ dài \(MA\) theo \(R\) và số đo các góc \(\angle AMB,\angle AOB?\)
\(\angle OAM = {90^0}\,\, \Rightarrow \Delta OAM\) vuông tại \(A\)
\( \Rightarrow O{M^2} = O{A^2} + M{A^2}\,\,\) (định lý Py-ta-go)
\( \Rightarrow M{A^2} = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \)
Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông \(OAM\) ta được:
\(\sin \angle AOM = \frac{{AM}}{{OM}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{{2R}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\, \Rightarrow \angle AOM = {60^0}\)
Do \(MA,MB\) là các tiếp tuyến của \(M\) đến đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)
\( \Rightarrow OM\) là tia phân giác của \(\angle AOB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \angle AOB = 2.\angle AOM = {2.60^0} = {120^0}\)
4) Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right),\,\,MD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(C.\) Chứng minh rằng \(\angle MHC = \angle ADC.\)
\(\Delta OAM\) vuông tại \(A\) có \(AH \bot OM\,\, \Rightarrow A{M^2} = MH.MO\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\angle ACD = {90^0}\) (do \(AD\) là đường kính) \( \Rightarrow AC \bot DM\)
\(\angle OAM = {90^0}\) hay \(\angle DAM = {90^0}\,\, \Rightarrow \Delta ADM\) vuông tại \(A\) có \(AC \bot DM\,\, \Rightarrow A{M^2} = MC.MD\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\,\, \Rightarrow MH.MO = MC.MD\,\,\left( { = A{M^2}} \right)\,\, \Rightarrow \frac{{MH}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MO}}\)
Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta MDO\) có:
\(\begin{array}{l}\angle OMD\,\,\,chung\\\frac{{MH}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MO}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MHC \sim \Delta MDO\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \angle MHC = \angle ADC\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
