Tính tích phân: I = sinx (sinx + )dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 37864:

Tính tích phân: I = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}$ sinx (sinx + $\frac{cos2x}{\sqrt{1+3cosx}} \right$ )dx

A. I = 2π - $\frac{118}{405}$

B. I = π - $\frac{118}{405}$

C. I = $\frac{\pi }{4}$ - $\frac{118}{405}$

D. I = $\frac{118}{405}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:37864

Giải chi tiết

Ta có I = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}$ sinx (sinx + $\frac{cos2x}{\sqrt{1+3cosx}} \right$ )dx

= $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}$ sin²x.dx + $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}$ $\frac{cos2x}{\sqrt{1+3cosx}} \right$ dx

+) $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}$ sin²x.dx = $\frac{1}{2}$ $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}$ (1 -cos2x)dx = $\frac{1}{2}$ ( x - $\frac{1}{2}$ sin2x) $|_0^{\frac{\pi }{2}}$ = $\frac{\pi }{4}$

+) Đặt t = $\sqrt{1+3cosx}$ =>cosx $\Rightarrow cosx=\frac{t^{2}-1}{3}$ ; sinxdx = $-\frac{2}{3}$ t.dt;

x = 0 => t = 2; x = $\frac{\pi }{2}$ => t = 1

Ta có: cos2x = 2cos²x - 1 = 2 $\left ( \frac{t^{2}-1}{3} \right )^{2}$ -1 = $\frac{2t^{4}-4t^{2}-7}{9}$

$\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}$ $\frac{cos2x.sinx}{\sqrt{1+3cosx}} \right$ dx = $\frac{2}{27}$ $\int_{1}^{2}$ (2t⁴ – 4t² – 7)dt = $\frac{2}{27}$ ( $\frac{2}{5}$ t⁵ – $\frac{4}{3}$ t³ – 7t ) $|_1^{2}$

= - $\frac{118}{405}$

Vậy I = $\frac{\pi }{4}$ - $\frac{118}{405}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.