Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi, \(BD = 2AC = 4a\). Tam giác \(SAB\) là tam giác đều

Câu hỏi số 378640:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi, \(BD = 2AC = 4a\). Tam giác \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(SC\) bằng

A. \(\dfrac{{3\sqrt 5 a}}{{16}}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {10} a}}{4}\)

C. \(\dfrac{{9\sqrt 5 a}}{{16}}\)

D. \(\dfrac{{3\sqrt {10} a}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378640

Phương pháp giải

Xác định chiều cao \(SH\)

Dựng \(CE//BD\)

Sử dụng mối quan hệ về khoảng cách \(d\left( {a;b} \right) = d\left( {a;\left( P \right)} \right) = d\left( {M;\left( P \right)} \right)\)

Với \(a//\left( P \right);b \subset \left( P \right);M \in a\)

Tính khoảng cách dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

Kẻ \(SH \bot AB\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(CE//BD\left( {E \in AB} \right)\)

Khi đó \(BD//\left( {SCE} \right) \Rightarrow d\left( {BD;SC} \right) = d\left( {BD;\left( {SEC} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SCE} \right)} \right)\)

Lại có \(BDCE\) là hình bình hành nên \(BE = CD = AB = 2BH \Rightarrow HE = \dfrac{3}{2}BE\)

Suy ra \(d\left( {B;\left( {SEC} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {H;\left( {SEC} \right)} \right)\)

Kẻ \(HF \bot EC\) tại \(F \Rightarrow HF//AC\left( {do\,AC \bot BD;\,BD//EC} \right)\)

Kẻ \(HK \bot SF\) tại \(K\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}EC \bot FH\\EC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow EC \bot \left( {SHF} \right) \Rightarrow EC \bot HK\)

Mà \(HK \bot SF \Rightarrow HK \bot \left( {SEC} \right)\) tại \(K \Rightarrow d\left( {H;\left( {SEC} \right)} \right) = HK.\)

Vì \(ABCD\) là hình thoi có \(I\) là giao hai đường chéo và \(BD = 2AC = 4a\) nên \(IB = 2a;IA = a\)

Xét tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\) ta có \(AB = \sqrt {I{A^2} + I{B^2}} = a\sqrt 5 \)

Vì tam giác \(SAB\) đều nên \(SH = \dfrac{{a\sqrt 5 .\sqrt 3 }}{2} = a\dfrac{{\sqrt {15} }}{2}.\)

Lại có \(HF//AC \Rightarrow \dfrac{{HF}}{{AC}} = \dfrac{{EH}}{{EA}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow HF = \dfrac{3}{2}a\)

Xét tam giác \(SHF\) vuông tại \(H\) có

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{F^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{3}{2}a} \right)}^2}}} = \dfrac{{45}}{{32{a^2}}}\\ \Rightarrow HK = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{8}\end{array}\)

Suy ra \(d\left( {H;\left( {SEC} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{8} \Rightarrow d\left( {BD;SC} \right) = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{3\sqrt {10} }}{8} = \dfrac{{\sqrt {10} a}}{4}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.