Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Gọi

Câu hỏi số 378643:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left[ {4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)} \right]\) . Giá trị của biểu thức \(2M + 3m\) bằng

A. \(3\)

B. \(11\)

C. \(20\)

D. \(14\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378643

Phương pháp giải

Đánh giá \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

Đặt \(t = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) từ đó dựa vào đồ thị hàm số để tìm GTNN và GTLN của \(f\left( t \right)\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\\ \Rightarrow 0 \le \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{2} \le 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1\\ \Rightarrow 2 \le 4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) \le 4\end{array}\)

Đặt \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = t \Rightarrow 2 \le t \le 4\)

Ta tìm GTLN và GTNN của \(g\left( x \right) = f\left( t \right)\,\,\left( {2 \le t \le 4} \right)\)

Từ đồ thị hàm số ta suy ra \(\mathop {\min }\limits_{_{\left[ {2;4} \right]}} f\left( t \right) = 2 \Leftrightarrow t = 2;\mathop {\max }\limits_{_{\left[ {2;4} \right]}} f\left( t \right) = 7 \Leftrightarrow t = 4\)

Suy ra \(M = 7;m = 2 \Rightarrow 2M + 3m = 2.7 + 3.2 = 20.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.