Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất khi nội tiếp trong hình cầu có bán kính \(R\)

Câu hỏi số 378703:

Vận dụng cao

Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất khi nội tiếp trong hình cầu có bán kính \(R\) là

A. \(\dfrac{{R\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{4R\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(R\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378703

Phương pháp giải

Mặt cầu ngoại tiếp khối trụ có tâm là trung điểm đoạn nối tâm hai đáy của khối trụ

Thể tích của khối trụ được tính bằng công thức: \(V = \pi {r^2}h\) (\(r:\) bán kính đáy, \(h:\) chiều cao của khối trụ)

Tìm mối liên hệ giữa \(r,h,R\) để tìm thể tích lớn nhất của khối trụ

Giải chi tiết

Gọi \(r\) là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao của khối trụ đã cho

Gọi \(AB\) là đường kính của mặt đáy tâm \(O,\) \(A'B'\) là đường kính của mặt đáy tâm \(O'\) của hình trụ sao cho \(AA'\) và \(BB'\) vuông góc với mặt phẳng đáy

Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO'\) khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối trụ trên và \(IA = IB = R\)

Ta có: \(OO' \bot AB \Rightarrow I{O^2} + A{O^2} = I{A^2} \Leftrightarrow \dfrac{{{h^2}}}{4} + {r^2} = {R^2}\)

Thể tích của khối trụ trên là \(V = \pi {r^2}h\) .

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

\(\begin{array}{l}{R^2} = {r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4} = \dfrac{{{r^2}}}{2} + \dfrac{{{r^2}}}{2} + \dfrac{{{h^2}}}{4} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{r^4}{h^2}}}{{16}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{r^4}{h^2}}}{{16}} \le {\left( {\dfrac{{{R^2}}}{3}} \right)^3} \Leftrightarrow {r^2}h \le 4\sqrt {\dfrac{{{R^6}}}{{27}}} = \dfrac{{4{R^3}}}{{3\sqrt 3 }}\end{array}\)

\( \Rightarrow V = \pi {r^2}h \le \dfrac{{4\pi {R^3}}}{{3\sqrt 3 }}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{r^2}}}{2} = \dfrac{{{h^2}}}{4} = \dfrac{{{R^2}}}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}R\\h = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}R\end{array} \right.\)

Vậy để khối trụ có thể tích lớn nhất thì chiều cao của khối trụ bằng \(\dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.