Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất khi nội tiếp trong hình cầu có bán kính \(R\) là

Câu 378703: Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất khi nội tiếp trong hình cầu có bán kính \(R\) là

A. \(\dfrac{{R\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{4R\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(R\sqrt 3 \)

Câu hỏi : 378703

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Mặt cầu ngoại tiếp khối trụ có tâm là trung điểm đoạn nối tâm hai đáy của khối trụ

Thể tích của khối trụ được tính bằng công thức: \(V = \pi {r^2}h\) (\(r:\) bán kính đáy, \(h:\) chiều cao của khối trụ)

Tìm mối liên hệ giữa \(r,h,R\) để tìm thể tích lớn nhất của khối trụ

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(r\) là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao của khối trụ đã cho

Gọi \(AB\) là đường kính của mặt đáy tâm \(O,\) \(A'B'\) là đường kính của mặt đáy tâm \(O'\) của hình trụ sao cho \(AA'\) và \(BB'\) vuông góc với mặt phẳng đáy

Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO'\) khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối trụ trên và \(IA = IB = R\)

Ta có: \(OO' \bot AB \Rightarrow I{O^2} + A{O^2} = I{A^2} \Leftrightarrow \dfrac{{{h^2}}}{4} + {r^2} = {R^2}\)

Thể tích của khối trụ trên là \(V = \pi {r^2}h\) .

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

\(\begin{array}{l}{R^2} = {r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4} = \dfrac{{{r^2}}}{2} + \dfrac{{{r^2}}}{2} + \dfrac{{{h^2}}}{4} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{r^4}{h^2}}}{{16}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{r^4}{h^2}}}{{16}} \le {\left( {\dfrac{{{R^2}}}{3}} \right)^3} \Leftrightarrow {r^2}h \le 4\sqrt {\dfrac{{{R^6}}}{{27}}} = \dfrac{{4{R^3}}}{{3\sqrt 3 }}\end{array}\)

\( \Rightarrow V = \pi {r^2}h \le \dfrac{{4\pi {R^3}}}{{3\sqrt 3 }}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{r^2}}}{2} = \dfrac{{{h^2}}}{4} = \dfrac{{{R^2}}}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}R\\h = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}R\end{array} \right.\)

Vậy để khối trụ có thể tích lớn nhất thì chiều cao của khối trụ bằng \(\dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.