Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SC \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình thoi có cạnh bằng \(a\sqrt 3 \) và \(\widehat {ABC} = 120^\circ \). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) (tham khảo hình vẽ bên dưới)

Câu 378702: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SC \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình thoi có cạnh bằng \(a\sqrt 3 \) và \(\widehat {ABC} = 120^\circ \). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) (tham khảo hình vẽ bên dưới)

A. \(V = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{4}\)

\(V = {a^3}\sqrt 3 \)

C. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{4}\)

D. \(V = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{8}\)

Câu hỏi : 378702

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tìm góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\)

- Tính độ dài \(SC\) và diện tích đáy

- Thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) được tính bằng công thức : \(V = \dfrac{1}{3}SC.{S_{ABCD}}\).

Đáp án : A
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Qua \(C\) kẻ \(CH \bot AB\,\,\,\left( {H \in AB} \right)\) (1)

Theo giả thiết \(SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot AB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AB \bot \left( {SCH} \right) \Rightarrow AB \bot SH\)

Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) cắt nhau theo giao tuyến \(AB\) nên góc tạo bởi hai mp\(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SH\) và \(CH\)

Suy ra \(\angle SHC = {45^0}\)

Ta có: \(\angle ABC = {120^0} \Rightarrow \angle CBH = {60^0}\).

\(\sin CBH = \dfrac{{CH}}{{CB}} \Leftrightarrow \sin 60^\circ = \dfrac{{CH}}{{a\sqrt 3 }} \Rightarrow CH = \dfrac{{3a}}{2}\)

Tam giác \(SCH\) vuông tại \(C\) có \(\widehat {SHC} = 45^\circ \) nên là tam giác vuông cân \( \Rightarrow SC = CH = \dfrac{{3a}}{2}\)

Tam giác \(ABD\) có \(AB = AD\) và \(\widehat {DAB} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABD\) là tam giác đều

Suy ra \({S_{ABD}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.A{B^2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.3{a^2} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}{a^2} \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}{a^2}\)

Do đó thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) là : \(V = \dfrac{1}{3}.SC.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}{a^2} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}{a^3}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.