Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số hữu tỉ thỏa mãn \(abc = 1\) và \(\dfrac{a}{{{b^2}}} + \dfrac{b}{{{c^2}}} +

Câu hỏi số 378751:

Vận dụng

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số hữu tỉ thỏa mãn \(abc = 1\) và \(\dfrac{a}{{{b^2}}} + \dfrac{b}{{{c^2}}} + \dfrac{c}{{{a^2}}} = \dfrac{{{b^2}}}{a} + \dfrac{{{c^2}}}{b} + \dfrac{{{a^2}}}{c}\). Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) là bình phương của một số hữu tỉ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378751

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ (dùng giả thiết để đưa về kết luận).

Giải chi tiết

Đặt \(\dfrac{a}{{{b^2}}} = x;\,\,\dfrac{b}{{{c^2}}} = y;\,\,\,\dfrac{c}{{{a^2}}} = z \Leftrightarrow xyz = \dfrac{a}{{{b^2}}}.\dfrac{b}{{{c^2}}}.\dfrac{c}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{abc}} = 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x + y + z = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\\ \Leftrightarrow xyz - xy - yz - xz + x + y + z - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {b^2}}\\{b = {c^2}}\\{c = {a^2}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy với \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số hữu tỉ thỏa mãn \(abc = 1\) và \(\dfrac{a}{{{b^2}}} + \dfrac{b}{{{c^2}}} + \dfrac{c}{{{a^2}}} = \dfrac{{{b^2}}}{a} + \dfrac{{{c^2}}}{b} + \dfrac{{{a^2}}}{c}\), ta được ít nhất một trong ba số \(a,b,c\) là bình phương của một số hữu tỉ.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link