Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) và \(a,b,c\) là \(3\) số khác \(0\). Chứng minh :

Câu hỏi số 379443:

Vận dụng cao

Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) và \(a,b,c\) là \(3\) số khác \(0\).

Chứng minh : \(\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}} = \frac{3}{{abc}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:379443

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc\) và \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có : \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)

Mà theo đề bài \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

Suy ra \(2\left( {ab + ac + bc} \right) = 0 \Leftrightarrow ab + ac + bc = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow ab + ac = - bc\\ \Leftrightarrow {\left( {ab + ac} \right)^3} = - {b^3}{c^3}\\ \Leftrightarrow {a^3}{b^3} + {a^3}{c^3} + 3{a^2}bc\left( {ab + ac} \right) = - {b^3}{c^3}\\ \Leftrightarrow {a^3}{b^3} + {a^3}{c^3} + {b^3}{c^3} = - 3{a^2}bc.\left( { - bc} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3}{b^3} + {a^3}{c^3} + {b^3}{c^3} = 3{a^2}{b^2}{c^2}\end{array}\)

Mà \(a,b,c \ne 0\) nên ta có

\(\begin{array}{l}{a^3}{b^3} + {a^3}{c^3} + {b^3}{c^3} = 3{a^2}{b^2}{c^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{a^3}{b^3} + {a^3}{c^3} + {b^3}{c^3}}}{{{a^3}{b^3}{c^3}}} = \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^3}{b^3}{c^3}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}} = \frac{3}{{abc}}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link