Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 2BC;\,\,E,F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). a)

Câu hỏi số 379442:

Vận dụng

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 2BC;\,\,E,F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).

a) Chứng minh tứ giác \(DEBF\) là hình bình hành.

b) Chứng minh tứ giác \(AEFD\) là hình thoi.

c) Gọi \(M\) là giao điểm của \(DE\) và \(AF\); \(N\) là giao điểm của \(EC\) và \(BF\). Tứ giác \(MENF\) là hình gì? Vì sao?

d) Hình bình hành \(ABCD\) có thêm điều kiện gì thì tứ giác \(MENF\)là hình vuông. Khi đó tính diện tích của tứ giác\(MENF\)biết \(BC = 3cm\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:379442

Phương pháp giải

a) Tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

b) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

c) Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành

Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật

d) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Diện tích hình vuông cạnh \(a\) bằng \({a^2}.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(DEBF\) là hình bình hành.

Xét hình bình hành \(ABCD\) có \(AB//CD \Rightarrow BE//DF;AE//DF\); \(AB = CD\) mà \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\) nên \(AE = EB = DF = FC = \frac{{AB}}{2}\).

Xét tứ giác \(DEBF\) có \(AB//DF;EB = DF\left( {cmt} \right)\) nên \(DEBF\) là hình bình hành (dhnb)

b) Chứng minh tứ giác \(AEFD\) là hình thoi.

Xét tứ giác \(ABCD\) có \(AB = 2BC \Rightarrow AB = 2AD \Rightarrow AD = \frac{{AB}}{2}\)

Do đó \(AE = AD = \frac{{AB}}{2}.\)

Xét tứ giác \(AEFD\) có \(AE//DF;AE = DF = \frac{{AB}}{2}\) (cmt) nên \(AEFD\) là hình bình hành (dhnb)

Lại có \(AE = AD = \frac{{AB}}{2}\,\left( {cmt} \right)\) nên hình bình hành \(AEFD\) là hình thoi (dhnb)

c) Gọi \(M\) là giao điểm của \(DE\) và \(AF\); \(N\) là giao điểm của \(EC\) và \(BF\). Tứ giác \(MENF\) là hình gì? Vì sao?

Xét tứ giác \(AECF\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AE//FC\\AE = FC\left( { = \frac{{AB}}{2}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AECF\) là hình bình hành.

Suy ra \(AF//EC\) hay \(EN//MF\)

Vì \(EBFD\) là hình bình hành (theo câu a)) nên \(ED//BF \Rightarrow EM//FN\)

Xét tứ giác \(EMFN\) có \(EN//MF\) và \(EM//FN\) nên \(EMFN\) là hình bình hành (dhnb)

Vì \(AEFD\) là hình thoi (theo câu b) nên \(AF \bot DE\) (tính chất)

Suy ra \(\widehat {EMF} = {90^0} \Rightarrow \) hình bình hành \(EMFN\) có 1 góc vuông nên nó là hình chữ nhật (dhnb)

d) Hình bình hành \(ABCD\) có thêm điều kiện gì thì tứ giác \(MENF\)là hình vuông. Khi đó tính diện tích của tứ giác\(MENF\)biết \(BC = 3cm\).

Theo câu c) ta có \(MENF\) là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật \(MENF\) là hình vuông thì \(EM = EN\)

Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(M\) là trung điểm của \(ED.\)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(EBCF\) là hình thoi nên \(N\) là trung điểm của \(EC.\)

Từ đó \(EM = EN \Leftrightarrow ED = EC\) suy ra tam giác \(EDC\) cân tại \(E\), lại có \(EF\) là đường trung tuyến của \(\Delta EDC\) nên \(EF\) cũng là đường cao \( \Rightarrow EF \bot DC.\)

Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(EF//AD\)

Suy ra \(AD \bot DC\)

Từ đó hình bình hành \(ABCD\) có \(AD \bot DC\) nên nó là hình chữ nhật.

Vậy để \(MENF\) là hình vuông thì \(ABCD\) là hình chữ nhật.

+) Ta có: \(BC = AD = EF = 3cm\) (tính chất)

Đặt \(ME = x\left( {x > 0} \right)\)

Xét hình vuông \(MENF\) có \(ME = MF = x\)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \(MEF\) ta có:

\(\begin{array}{l}M{E^2} + M{F^2} = E{F^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} = {4^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} = 16\\ \Leftrightarrow {x^2} = 8\end{array}\)

Diện tích hình vuông \(MENF\) là \(S = M{E^2} = {x^2} = 8\left( {c{m^2}} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link