Cho \(x,y \in \mathbb{R}\) và \(x \ne y.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{x^2} - 6xy +

Câu hỏi số 379465:

Vận dụng cao

Cho \(x,y \in \mathbb{R}\) và \(x \ne y.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{x^2} - 6xy + 6{y^2}}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}\).

A. \(\min P = - 1\)

B. \(\min P = - 2\)

C. \(\min P = - 3\)

D. \(\min P = 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:379465

Phương pháp giải

Xét \(y = 0\)

Xét \(y \ne 0\), chia cả tử và mẫu cho \({y^2}.\) Sau đó ta chứng minh biểu thức thu được lớn hơn hoặc bằng \( - 3.\)

Giải chi tiết

Xét \(y = 0,\) ta có : \(P = 1.\)

Xét \(y \ne 0,\) chia cả tử và mẫu của (1) cho \({y^2},\) ta có :

\(P = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - 6\left( {\frac{x}{y}} \right) + 6}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - 2\left( {\frac{x}{y}} \right) + 1}}\)

Đặt \(t = \frac{x}{y}\,\,\,\left( {t \ne 1} \right).\) Biểu thức \(P\) trở thành :

\(P = \frac{{{t^2} - 6t + 6}}{{{t^2} - 2t + 1}}\)

Ta sẽ đi chứng minh : \(P \ge - 3\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{{{t^2} - 6t + 6}}{{{t^2} - 2t + 1}} \ge - 3\\ \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 6 \ge - 3{t^2} + 6t - 3\\ \Leftrightarrow 4{t^2} - 12t + 9 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2t - 3} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\,\)luôn đúng.

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2x = 3y.\)

Vậy \(\min P = - 3,\) đạt được khi \(2x = 3y.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link