Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC,\) kẻ \(DE\) vuông góc với \(AB\)

Câu hỏi số 379464:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC,\) kẻ \(DE\) vuông góc với \(AB\) tại \(E.\) Gọi \(I\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(AC,\,\,DI\) cắt \(AC\) tại \(F.\)

1. Chứng minh tứ giác \(AEDF\) là hình chữ nhật.

2. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF.\) Chứng minh tứ giác \(ABDI\) là hình bình hành và từ đó suy ra ba điểm \(B,\,O,\,I\) thẳng hàng.

3. Tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(ABCI\) là hình thang cân. Hãy tính \({S_{ABC}}\) trong trường hợp này biết \(AD = 8cm.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:379464

Phương pháp giải

1. Chứng minh tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

2. Chứng minh tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.

3. Sử dụng hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

Giải chi tiết

1. Chứng minh tứ giác \(AEDF\) là hình chữ nhật.

Ta có: \(DE \bot AB \Rightarrow \widehat E = {90^0}\)

\(DF \bot AC \Rightarrow \widehat F = {90^0}\)

Tứ giác \(AEDF\) có \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = {90^0}\) nên \(AEDF\) là hình chữ nhật (đpcm).

2. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF.\) Chứng minh tứ giác \(ABDI\) là hình bình hành và từ đó suy ra ba điểm \(B,\,O,\,I\) thẳng hàng.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}DF \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right.\) nên \(DF//AB\) (từ vuông góc đến song song)

Mà \(D\) là trung điểm \(BC\) nên \(F\) là trung điểm \(AC\)

\( \Rightarrow DF\) là đường trung bình của tam giác \(ACB\)\( \Rightarrow DF = \frac{1}{2}AB\left( {t/c} \right) \Rightarrow AB = 2DF\)

Mà \(DI = 2DF\) (do \(I\) đối xứng với \(D\) qua \(AC\))

Do đó \(DI = AB\left( { = 2DF} \right)\).

Mà \(DI//AB\) nên tứ giác \(ABDI\) là hình bình hành (dhnb).

Vì \(O\) là giao điểm của \(EF\) với \(AD\) nên \(O\) là trung điểm \(AD\).

Tứ giác \(ABDI\) là hình bình hành\( \Rightarrow \) hai đường chéo \(BI,AD\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đường.

Vậy \(B,O,I\) thẳng hàng.

3. Tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(ABCI\) là hình thang cân. Hãy tính \({S_{ABC}}\) trong trường hợp này biết \(AD = 8cm.\)

Ta có: \(AI//BC\) (do \(AI//BD\)) nên tứ giác \(AICB\) là hình thang.

Để \(AICB\) là hình thang cân thì \(\widehat {ABC} = \widehat {ICB}\) (1)

Xét tứ giác \(AICD\) có \(AC\) vuông góc \(DI\) tại trung điểm mỗi đường nên là hình thoi.

\( \Rightarrow CA\) là tia phân giác góc \(\widehat {ICD}\).

\( \Rightarrow \)\(\widehat {ICB} = 2\widehat {ACB}\) (2)

Từ đó \(\widehat {ABC} = 2\widehat {ACB}\).

Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^0}\) (hai góc phụ nhau)

Do đó \(2\widehat {ACB} + \widehat {ACB} = {90^0}\) \( \Leftrightarrow \widehat {ACB} = {30^0}\) .

Vậy tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện \(\widehat {ACB} = {30^0}\) để tứ giác \(AICB\) là hình thang cân.

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ACB} = {30^0}\) nên \(AB = \frac{1}{2}BC\).

Mà \(BC = 2AD = 2.8 = 16\) nên \(AB = \frac{1}{2}.16 = 8\).

Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \( \Leftrightarrow {8^2} + A{C^2} = {16^2}\) \( \Leftrightarrow A{C^2} = {16^2} - {8^2} = 192\) \( \Rightarrow AC = 8\sqrt 3 \)

Diện tích tam giác: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.8.8\sqrt 3 = 32\sqrt 3 \).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link