Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ thay đổi nhưng luôn nội tiếp một hình cầu cố
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ thay đổi nhưng luôn nội tiếp một hình cầu cố định có bán kính R . Biết AB =2AD =2x (x > 0) . Tìm x để thể tích khối hộp đã cho đạt giá trị lớn nhất
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối hộp.
- Sử dụng định lí Pytago tính chiều cao của khối hộp theo \(R\).
- Tính thể tích khối hộp, sử dụng công thức \(V = AB.AD.AA'\), sau đo sử dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
Gọi \(O\) là tâm hình hộp chữ nhật. Khi đó \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) và bán kính mặt cầu là \(R = OA\).
Gọi \(I,\,\,I'\) lần lượt là tâm của hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\).
\( \Rightarrow II' \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(O\) là trung điểm của \(II'\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {4{x^2} + {x^2}} = x\sqrt 5 \).
\( \Rightarrow AI = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{x\sqrt 5 }}{2}\).
Áp dụng định Pytago trong tam giác vuông \(OAI\) có:
\(OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {{R^2} - \dfrac{{5{x^2}}}{4}} \).
\( \Rightarrow II' = 2OI = 2\sqrt {{R^2} - \dfrac{{5{x^2}}}{4}} = \sqrt {4{R^2} - 5{x^2}} = AA'\).
Do đó thể tích khối hộp chữ nhật là:
\({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.AB.AD = \sqrt {4{R^2} - 5{x^2}} .2{x^2}\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {4{R^2} - 5{x^2}} .2{x^2}\,\,\left( {0 < x \le \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}R} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 10x}}{{2\sqrt {4{R^2} - 5{x^2}} }}.2{x^2} + \sqrt {4{R^2} - 5{x^2}} .4x\\f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 10{x^3} + \left( {4{R^2} - 5{x^2}} \right).4x}}{{\sqrt {4{R^2} - 5{x^2}} }}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{16{R^2}x - 30{x^3}}}{{\sqrt {4{R^2} - 5{x^2}} }}\end{array}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 16{R^2}x - 30{x^3} = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2x\left( {8{R^2} - 15{x^2}} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\left( {loai} \right)\\x = \dfrac{{2\sqrt {30} R}}{{15}}\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - \dfrac{{2\sqrt {30} R}}{{15}}\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có BBT:
Từ BBT suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\dfrac{{2R}}{{\sqrt 5 }}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{{2\sqrt {30} R}}{{15}}} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\sqrt {30} R}}{{15}}\).
Vậy thể tích khối hộp đã cho đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \dfrac{{2\sqrt {30} R}}{{15}}\).
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
