Cho \(\Delta ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\). Kẻ đường cao \(AH.\) Gọi \(M\) là trung điểm

Câu hỏi số 379944:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\). Kẻ đường cao \(AH.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB,\,\,N\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(M.\)

a) Chứng minh: Tứ giác \(ANBH\) là hình chữ nhật.

b) Trên tia đối của tia \(HB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(H\) là trung điểm của \(BE.\) Gọi \(F\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(H.\) Chứng minh: Tứ giác \(ABFE\) là hình thoi.

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(NE.\) Chứng minh: \(MI\parallel BC\).

d) Đường thẳng \(MI\) cắt \(AC\) tại \(K.\) Kẻ \(NQ\) vuông góc với \(KH\) tại \(Q.\) Chứng minh: \(AQ \bot BQ.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:379944

Phương pháp giải

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi.

c) Sử dụng các mối quan hệ vuông góc và song song.

d) Sử dụng các mối quan hệ vuông góc và song song.

Giải chi tiết

a) Chứng minh: Tứ giác \(ANBH\) là hình chữ nhật.

Vì \(N\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(M\)

\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(NH.\)

Lại có \(M\) là trung điểm của \(AB\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow ANBH\) là hình bình hành. (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trng điểm của mỗi đường).

Lại có: \(\angle AHB = {90^0}\) (do \(AH \bot BC\,\,\,\left( {gt} \right)\))

\( \Rightarrow ANBH\) là hình chữ nhật. (dhnb).

b) Trên tia đối của tia \(HB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(H\) là trung điểm của \(BE.\) Gọi \(F\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(H.\) Chứng minh: Tứ giác \(ABFE\) là hình thoi.

Ta có: \(F\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(H\)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AF.\)

Lại có: \(H\) là trung điểm của \(BE.\)

\( \Rightarrow ABFE\) là hình bình hành. (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trng điểm của mỗi đường).

Lại có: \(AH \bot BC\,\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AF \bot BE = \left\{ H \right\}\)

\( \Rightarrow ABFE\) là hình thoi. (dhnb)

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(NE.\) Chứng minh: \(MI\parallel BC\).

Ta có:\(ANBH\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AN = BH\\AN//BH\end{array} \right..\) (tính chất hình chữ nhật)

Mà \(BH = HE \Rightarrow BH = HE\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AN = HE\\AN//HE\,\,\,\,\left( {AN//BH} \right)\end{array} \right. \Rightarrow ANHE\) là hình bình hành. (dhnb)

\( \Rightarrow AH \cap NE = \left\{ I \right\}\) với \(I\) là trung điể của \(NE\) và \(AH.\)

Xét \(\Delta ABH\) ta có:

\(M,\,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AH\)

\( \Rightarrow MI\) là đường trung bình của \(\Delta ABH\) (định nghĩa).

\( \Rightarrow MI//BH\,\,\,hay\,\,\,\,MI//BC\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

d) Đường thẳng \(MI\) cắt \(AC\) tại \(K.\) Kẻ \(NQ\) vuông góc với \(KH\) tại \(Q.\) Chứng minh: \(AQ \bot BQ.\)

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(NH\,\,\,\left( {cmt} \right).\)

\( \Rightarrow QM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của \(\Delta NHQ\) vuông tại \(Q.\)

\( \Rightarrow NQ = MH = \frac{1}{2}NH\)

Mà \(NH = AB\) (do \(ANBH\) là hình chữ nhật).

Xét \(\Delta AQB\) ta có:

\(QM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(AB\) của tam giác

\(QM = \frac{1}{2}AB\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow QM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của \(\Delta ABQ.\)

\( \Rightarrow \Delta ABQ\) vuông tại \(Q\) hay \(AQ \bot BQ.\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link