Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C. a) Chứng minh tứ giác ACED là hình
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt DE tại K. Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE\).
Quảng cáo
Dựa vào tính chất, dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
Ta có: \(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\)
\( \Rightarrow C\) là trung điểm của \(BE \Rightarrow BC = EC.\)
Xét tứ giác \(ACED\) ta có:
\(\begin{array}{l}AD//EC\,\,\,\left( {AD//BC} \right)\\AD = CE\,\,\,\left( { = BC} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow ACED\) là hình bình hành. (dhnb)
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta FCM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle ABM = \angle FCM = {90^0}\\MB = MC\,\,\left( {gt} \right)\end{array}\)
\(\angle AMB = \angle CMF\) (hai góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta FCM\,\,\,\left( {g - c - g} \right)\)
\( \Rightarrow AB = CF\) (hai cạnh tương ứng).
Mà \(AB = DC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow DC = CF.\)
Xét tứ giác \(BDEF\) ta có:
\(\begin{array}{l}BE \bot DF = \left\{ C \right\}\\BE \cap DF = \left\{ C \right\}\end{array}\)
\(C\) là trung điểm của \(BE,\,\,DF\)
\( \Rightarrow BDEF\) là hình thoi. (hình thoi có 2 đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).
c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt DE tại K. Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE\).
Gọi \(AC \cap BD = \left\{ H \right\};\,\,\,AI \cap BD = O.\)
Ta có: \(ACED\) là hình bình hành (cmt)
Mà \(AE \cap CD = \left\{ I \right\} \Rightarrow I\,\,\)là trung điểm của \(CD.\)
Lại có: \(O\) là trung điểm của \(AC\)
\( \Rightarrow H\) là trực tâm của \(\Delta ACD.\)
\( \Rightarrow \frac{{IH}}{{AI}} = \frac{1}{3}.\)
Mà \(I\) là trung điểm của \(AE \Rightarrow AI = \frac{1}{2}AE \Rightarrow IH = \frac{1}{6}AE.\)
Ta có:\(BDEF\) là hình thoi (cmt)
\( \Rightarrow DF\) là tia phân giác của \(\angle BDE\) (tính chất hình thoi).
\( \Rightarrow \angle BDC = \angle CDE.\)
Ta có: \(BDEF\) là hình thoi (cmt)\( \Rightarrow BD = DE\) (hai cạnh bên).
Xét \(\Delta BDI\) và \(\Delta EDI\) ta có:
\(\begin{array}{l}DI\,\,\,chung\\\angle IDB = \angle IDE\,\,\,\left( {cmt} \right)\\BD = DE\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BDI = \Delta EDI\,\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle DBI = \angle DEI\) (hai góc tương ứng).
Và \(IE = IB\) (hai cạnh tương ứng).
Xét \(\Delta HBI\) và \(\Delta KEI\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle HBI = \angle KEI\,\,\,\left( {cmt} \right)\\IE = IB\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\(\angle HIB = \angle KIE\) (hai góc đối đỉnh)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta HBI = \Delta KEI\,\,\,\left( {g - c - g} \right).\\ \Rightarrow HI = IK.\\ \Rightarrow IK = \frac{1}{6}AE\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
