Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = AC\). Gọi \(D\) là trung điểm của cạnh \(BC\). a) Chứng minh \(\Delta ABD =

Câu hỏi số 380569:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = AC\). Gọi \(D\) là trung điểm của cạnh \(BC\).

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ACD\) và \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

b) Vẽ \(DM \bot AB\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = AM\). Chứng minh \(DN \bot AC.\)

c) Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(NC\). Trên tia đối của tia \(KD\) lấy điểm \(E\) sao cho

\(KD = KE\). Chứng minh \(M,N,E\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380569

Phương pháp giải

a) Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác cạnh – cạnh – cạnh và tính chất hai tam giác bằng nhau.

b) Sử dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh – góc – cạnh và tính chất hai tam giác bằng nhau

c) Chứng minh \(MN//BC,NE//BC\) từ đó suy ra ba điểm thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ACD\) và \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(ACD\) có :

+) \(AB = AC\left( {gt} \right)\)

+) Cạnh \(AD\) chung

+) \(BD = DC\) (vì \(D\) là trung điểm cạnh \(BC)\)

Nên \(\Delta ABD = \Delta ACD\left( {c - c - c} \right)\)

Suy ra \(\widehat {DAB} = \widehat {DAC}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Nên \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) (đpcm)

b) Vẽ \(DM \bot AB\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = AM\). Chứng minh \(DN \bot AC.\)

Xét tam giác \(AMD\) và tam giác \(AND\) có :

+) \(AM = AN\left( {gt} \right)\)

+) \(\widehat {MAD} = \widehat {NAD}\) (chứng minh câu a)

+) Cạnh \(AD\) chung

Nên \(\Delta AMD = \Delta AND\,\left( {c - g - c} \right)\), suy ra \(\widehat {AND} = \widehat {AMD} = {90^0}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Do đó : \(DN \bot AC\) (đpcm)

c) Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(NC\). Trên tia đối của tia \(KD\) lấy điểm \(E\) sao cho

\(KD = KE\). Chứng minh \(M,N,E\) thẳng hàng.

*) Xét tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (do \(AB = AC\)) có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất)

Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra \(\widehat {ABC} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {BAC}}}{2}\) (1)

Xét tam giác \(AMN\) cân tại \(A\) (do \(AM = AN\)) có \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\) (tính chất)

Mà \(\widehat {AMN} + \widehat {ANM} + \widehat {NAM} = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra \(\widehat {AMN} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {MAN}}}{2} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {BAC}}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {AMN}\) mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(MN//BC\,\,\left( * \right).\)

*) Xét tam giác \(NKE\) và tam giác \(CKD\) có :

+) \(NK = KC\) (do \(K\) là trung điểm của \(NC\))

+) \(\widehat {NKE} = \widehat {DKC}\) (hai góc đối đỉnh)

+) \(KD = KE\,\left( {gt} \right)\)

Nên \(\Delta NKE = \Delta CKD\left( {c - g - c} \right)\), suy ra \(\widehat {NKE} = \widehat {KDC}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(CD//NE\) hay \(NE//BC\) (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra \(M,N,E\) thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link