Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Gọi \(M,N,H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,AC\) và

Câu hỏi số 380840:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Gọi \(M,N,H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,AC\) và \(BC.\)

a) Tứ giác \(BMNC\) và tứ giác \(BMNH\) là hình gì? Vì sao?

b) Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(N.\) Chứng minh: \(ADCH\) là hình chữ nhật

c) Kẻ \(DE \bot AC,\) gọi \(K\) là trung điểm của \(EC.\) Qua \(K\) vẽ đường thẳng \(d \bot DK.\) Chứng minh: Ba đường thẳng \(AH,MN\) và \(d\) đồng qui (cùng gặp nhau tại 1 điểm)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380840

Phương pháp giải

a) Sử dụng: Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang.

Hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau là hình thang cân.

Tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

b) Tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật.

c) Lấy \(P\) là trung điểm cạnh \(EP.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(AH.\) Ta sẽ chứng minh \(IK \bot DK\)

Chỉ ra \(IAPK\) là hình bình hành, \(P\) là trực tâm tam giác \(ADK.\) Từ đó sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song song để chứng minh \(IK \bot DK\).

Giải chi tiết

a) Tứ giác \(BMNC\) và tứ giác \(BMNH\) là hình gì? Vì sao?

Xét tam giác \(ABC\) có \(MN\) là đường trung bình của tam giác nên \(MN//BC,\,MN = \frac{{BC}}{2} = BH\)

Suy ra \(MNCB\) là hình thang. Lại có \(\widehat B = \widehat C\) nên \(MNCB\) là hình thang cân (dhnb)

Xét tứ giác \(MNHB\) có \(MN//HB;MN = HB\) nên \(MNHB\) là hình bình hành (dhnb)

b) Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(N.\) Chứng minh: \(ADCH\) là hình chữ nhật

Xét tứ giác \(AHCD\) có \(N\) là trung điểm \(AC\left( {gt} \right)\) và \(N\) là trung điểm \(HD\) (do \(D\) đối xứng với \(H\) qua \(N\))

Nên hai đường chéo \(AC,HD\) giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Suy ra \(AHCD\) là hình bình hành

Lại có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AH\) là đường trung tuyến nên \(AH\) cũng là đường cao.

Suy ra \(AH \bot HC \Rightarrow \widehat {AHC} = {90^0}\)

Từ đó \(AHCD\) là hình chữ nhật (dhnb)

c) Kẻ \(DE \bot AC,\) gọi \(K\) là trung điểm của \(EC.\) Qua \(K\) vẽ đường thẳng \(d \bot DK.\) Chứng minh: Ba đường thẳng \(AH,MN\) và \(d\) đồng qui (cùng gặp nhau tại 1 điểm)

(fb: Thầy Lê Minh Đức)

Lấy \(P\) là trung điểm cạnh \(EP.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(AH.\) Ta sẽ chứng minh \(IK \bot DK\)

Xét tam giác \(AHC\) có \(IN//HC\) và \(N\) là trung điểm \(AC\) nên \(I\) là trung điểm của \(AH\)

Suy ra \(AI = \frac{{AH}}{2}\) và \(AI//DC;AH = DC\) (do \(ADCH\) là hình chữ nhật) nên \(AI = \frac{{DC}}{2}\)

Xét tam giác \(EPC\) có \(PK\) là đường trung bình của tam giác \( \Rightarrow PK//DC,PK = \frac{1}{2}DC\)

Xét tứ giác \(AIPK\) có \(AI = PK\left( { = \frac{{DC}}{2}} \right);AI//PK//DC\) nên \(AIPK\) là hình bình hành.

Do đó: \(IK//AP\)

Lại có \(PK//DC\) mà \(DC \bot AD \Rightarrow PK \bot AD\)

Từ đó suy ra \(P\) là trực tâm tam giác \(ADK.\)

Suy ra \(AP \bot DK\) mà \(IK//AP\) nên \(IK \bot DK\)

Do đó \(IK \equiv d\) nên ba đường thẳng \(AH,MN,d\) đồng qui tại điểm \(I\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link