Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x -

Câu hỏi số 380939:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\) với \(x > 0,\,x \ne 4.\)

a) Chứng minh \(A = \frac{{ - 4}}{{\sqrt x + 2}}.\)

b) Tìm\(x\) biết \(A = \frac{{ - 2}}{3}.\)

c) Cho \(x\) là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A.\)

A. \(\begin{array}{l}{\rm{b)}}\,\,x = 4\\{\rm{c)}}\,\, - \frac{2}{3}\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}{\rm{b)}}\,\,x = 6\\{\rm{c)}}\,\,\frac{2}{3}\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}{\rm{b)}}\,\,x = 12\\{\rm{c)}}\,\, - 1\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}{\rm{b)}}\,\,x = 16\\{\rm{c)}}\,\, - \frac{4}{3}\end{array}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380939

Phương pháp giải

a) QuY đồng, khử mẫu và rút gọn \(A\).

b) Giải phương trình \(A = - \frac{2}{3}\), sử dụng kết quả rút gọn câu a).

c) Dựa vào điều kiện bài cho và \(x \in \mathbb{Z}\) suy ra điều kiện chính xác của \(x\), từ đó đánh giá \(A\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(A = \frac{{ - 4}}{{\sqrt x + 2}}.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }}\\\,\,\, = \frac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\, = \frac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x }}\\\,\, = \frac{{ - 4}}{{\sqrt x + 2}}.\end{array}\)

b) Tìm\(x\) biết \(A = \frac{{ - 2}}{3}.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

\(A = \frac{{ - 2}}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 4}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{ - 2}}{3}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = 6 \Leftrightarrow \sqrt x = 4\)

\( \Leftrightarrow x = 16\) (tmđk).

Vậy \(x = 16.\)

c) Cho \(x\) là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)

Ta có \(x\) nguyên và \(x > 0,\,x \ne 4\) thì \(x \ge 1,\,x \ne 4,\,x \in \mathbb{Z}.\)

Ta có: \(x \ge 1 \Leftrightarrow \sqrt x \ge 1 \Leftrightarrow \sqrt x + 2 \ge 3 > 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 4}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 4}}{3}\) \( \Leftrightarrow P \ge \frac{{ - 4}}{3}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{{ - 4}}{3}\) khi \(x = 1.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link