Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; -3), C(-1; -2; -3) và mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0 Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.

Câu hỏi số 38147:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1), B(1; 0; -3), C(-1; -2; -3) và mặt cầu (S) có phương trình: x² + y² + z² - 2x + 2z - 2 = 0

Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.

A. D( $\frac{-7}{3};\frac{-4}{3};\frac{-1}{3}$ )

B. D( $\frac{7}{3};\frac{-4}{3};\frac{1}{3}$ )

C. D( $\frac{7}{3};\frac{-4}{3};\frac{-1}{3}$ )

D. D( $\frac{7}{3};\frac{4}{3};\frac{-1}{3}$ )

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:38147

Giải chi tiết

Ta có (S): (x - 1)² + y² + (z + 1)² = 4 suy ra (S) có tâm I(1; 0;-1), bán kính R = 2

Và $\overrightarrow{AB}$ = (1; -1; -4); $\overrightarrow{AC}$ = (-1; -3; -4)

Mặt phẳng (ABC) có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]$ = (-8; 8; -4)

Suy ra (ABC) có phương trình: -8x + 8(y - 1) - 4(z - 1) = 0⇔ 2x - 2y + z + 1= 0

Ta có V_ABCD = $\frac{1}{3}$ .d(D; (ABC)).S_ABC nên V_ABCD lớn nhất khi và chỉ khi d(D; (ABC)) lớn nhất

Gọi D₁D₂là đường kính của mặt cầu (S) vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Ta thấy với D là 1 điểm bất kì thuộc (S) thì

d(D; (ABC)) ≤ max {d (D_1;(ABC)); d ( D₂, (ABC))}

Dấu = xảy ra khi D trùng với D₁hoặc D₂

Đường thẳng D₁D₂đi qua I(1; 0; -1) và có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(ABC)}}$ = (2; -2; 1)

Do đó (D₁D₂) có phương trình: $\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-2t\\ z=-1+t \end{matrix}\right.$

Tọa độ điểm D₁và D₂thỏa mãn hệ $\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-2t\\ z=-1+t\\ (x-1)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=4 \end{matrix}\right.$

⇔ $[_{t=\frac{-2}{3}}^{t=\frac{2}{3}}$

=> D₁( $\frac{7}{3};\frac{-4}{3};\frac{-1}{3}$ ) hoặc D₂( $\frac{-1}{3};\frac{4}{3};\frac{-5}{3}$ )

Ta thấy: d(D_1;(ABC)) > d( D₂, (ABC))

Vậy điểm D( $\frac{7}{3};\frac{-4}{3};\frac{-1}{3}$ ) là điểm cần tìm

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.