Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a.

Câu hỏi số 38164:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 60⁰. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a.

A. V_S.ABCD = $\frac{4\sqrt{17}}{3}$ a³;d(BD, SA) = 2 $\sqrt{\frac{19}{31}}$ a

B. V_S.ABCD = $\frac{4\sqrt{17}}{3}$ a³;d(BD, SA) = 2 $\sqrt{\frac{17}{31}}$ a

C. V_S.ABCD = $\frac{4\sqrt{17}}{3}$ a³; d(BD, SA) = 2 $\sqrt{\frac{15}{31}}$ a

D. V_S.ABCD = $\frac{4\sqrt{15}}{3}$ a³; d(BD, SA) = 2 $\sqrt{\frac{15}{31}}$ a

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:38164

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm AB. Do SAB cân tại S suy ra SH ⊥ AB, mặt khác (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) và $\widehat{SCH}$ = 60^o

Ta có SH = CH.tan60⁰= $\sqrt{CB^{2}+BH^{2}}$ .tan60⁰= a $\sqrt{15}$

V_S.ABCD = $\frac{1}{3}$ SH.S_ABCD = $\frac{1}{3}$ a $\sqrt{15}$ .4a² = $\frac{4\sqrt{15}}{3}$ a³

Qua A vẽ đường thẳng ∆ song song với BD. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên ∆ và K là hình chiếu của H lên SE, khi đó ∆ ⊥ (SHE) => ∆ ⊥ HK suy ra

HK ⊥ (S, ∆).

Mặt khác, do BD // (S,∆) nên ta có:

d(BD, SA) = d(BD, (S, $\dpi{80} \Delta$ )) = d(B, (S, ∆)) = 2d(H, (S,∆)) = 2HK

Ta có $\widehat{EAH}=\widehat{DBA}$ = 45⁰ nên tam giác EAH vuông cân tại E, suy ra

HE = $\frac{AH}{\sqrt{2}}$ $=\frac{a}{\sqrt{2}}$

=> HK= $\frac{HE.HS}{\sqrt{HE^{2}+HS^{2}}}$ = $\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}.a\sqrt{15}}{\sqrt{(\frac{a}{\sqrt{2}})^{2}+(a\sqrt{15})^{2}}}$ = $\sqrt{\frac{15}{31}}$ a

Vậy d(BD, SA) = 2 $\sqrt{\frac{15}{31}}$ a

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.