Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 38171:

Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{4a^{3}+3b^{3}+2c^{3}-3b^{2}c}{(a+b+c)^{3}}$

A. $\frac{9}{25}$

B. $\frac{8}{25}$

C. $\frac{4}{25}$

D. $\frac{6}{25}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:38171

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 3b²c ≤ 2b³+ c³ (*).

Dấu “=” xảy ra khi b = c

Ta sẽ chứng minh: b³+ c³ ≥ $\frac{(b +c)^{3}}{4}$ (**), với ∀b, c > 0.

Thật vậy (**)

<=> 4(b³+ c³) ≥ b³+ c³+ 3b²c + 3bc²

^<=> b³+ c³ – b²c – bc² ≥ 0 <=> (b + c)(b - c)² ≥ 0, luôn đúng ∀b, c > 0

Dấu “=” xảy ra khi b = c

Áp dụng (*) và (**) ta được P ≥ $\frac{4a^{3}+\frac{(b+c)^{3}}{4}}{(a+b+c)^{3}}$ = 4t³ + $\frac{1}{4}$ (1 – t)³

, với t = $\frac{a}{a+b+c}$ , t ε (0;1)

Xét f(t)= 4t³ + $\frac{1}{4}$ (1 - t)³ với t ε (0;1)

f’(t) = 12t² – $\frac{3}{4}$ (1 - t)²; f’(t) = 0 <=> t = $\frac{1}{5}$

Suy ra f(t) ≥ $\frac{4}{25}$

Dấu "=" xảy ra khi t = $\frac{1}{5}$

=> P ≥ $\frac{4}{25}$ . Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} b=c & \\ \frac{a}{a+b+c}=\frac{1}{5} & \end{matrix}\right.$ <=> 2a = b = c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{4}{25}$ khi 2a = b = c

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.