Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích

Câu hỏi số 381751:

Vận dụng

Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích \(1000c{m^3}\). Muốn chi phí nguyên liệu làm vỏ thùng ít nhất tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính nắp đậy bằng:

A. \(\sqrt[3]{{\dfrac{{500}}{\pi }}}cm\)

B. \(\sqrt[3]{{\dfrac{{1000}}{\pi }}}cm\)

C. \(\sqrt {\dfrac{{1000}}{\pi }} cm\)

D. \(\sqrt {\dfrac{{500}}{\pi }} cm\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381751

Phương pháp giải

Thể tích của hình trụ có bán kính bằng \(r,\) chiều cao bằng \(h\) là: \(V = \pi {r^2}h\)

Diện tích toàn phần của hình trụ trên là \(\)\({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\)

Áp dụng BĐT \(AM - GM\) để giải bài toán.

Giải chi tiết

Gọi \(r\) là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao của thùng sơn đã cho.

Theo giả thiết, thùng sơn có dung tích bằng \(1000c{m^3}\) nên ta có:

\(V = 1000 \Leftrightarrow \pi {r^2}h = 1000\)

Diện tích toàn phần của thùng sơn có nắp đạy là

\({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)

Áp dụng BĐT AM – GM ta có:

\({S_{tp}} = \pi .\left( {2{r^2} + rh + rh} \right) \ge \pi .3\sqrt[3]{{2{r^2}.rh.rh}} = 3\pi .\sqrt[3]{{2{r^4}.{h^2}}} = 3\pi .\sqrt[3]{{2.{{\left( {\dfrac{{1000}}{\pi }} \right)}^2}}}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(2{r^2} = rh \Leftrightarrow h = 2r\)

Mà \({r^2}h = \dfrac{{1000}}{\pi } \Rightarrow 2{r^3} = \dfrac{{1000}}{\pi } \Rightarrow r = \sqrt[3]{{\dfrac{{500}}{\pi }}}\)

Vậy để diện tích toàn phần của thùng sơn nhỏ nhất thì \(r = \sqrt[3]{{\dfrac{{500}}{\pi }}}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.