Biết phương trình \({x^2} - 2mx - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn biểu thức

Câu hỏi số 382095:

Vận dụng cao

Biết phương trình \({x^2} - 2mx - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn biểu thức \(S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.

A. \(7\)

B. \(5\)

C. \(3\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:382095

Phương pháp giải

Sử dụng bất thẳng thức \(2ab \le {a^2} + {b^2}\) tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

\({x^2} - 2mx - 1 = 0\).

\(\Delta ' = {m^2} + 1 > 0,\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

\(x = m \pm \sqrt {{m^2} + 1} .\)

Vì \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình nên:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 2m{x_1} - 1 = 0\\x_2^2 - 2m{x_2} - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 1 = 2m{x_1}\\x_2^2 - 4 = 2m{x_2} - 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right) = 2m{x_1}\left( {2m{x_2} - 3} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{m^2}{x_1}{x_2} - 6m{x_1} = - 4{m^2} - 6m{x_1}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 4{m^2} - 6m\left( {m \pm \sqrt {{m^2} + 1} } \right).\end{array}\)

Trường hợp 1: \(S = - 4{m^2} - 6m\left( {m + \sqrt {{m^2} + 1} } \right)\)\( = - 10{m^2} - 6m\sqrt {{m^2} + 1} .\)

Áp dụng bất đẳng thức \(2ab \le {a^2} + {b^2}\) ta có:

\( - 6m\sqrt {{m^2} + 1} = 2.\left( { - 3m} \right).\sqrt {{m^2} + 1} \le 9{m^2} + {m^2} + 1 = 10{m^2} + 1\)

\( \Rightarrow S \le - 10{m^2} + 10{m^2} + 1 = 1.\)

Trường hợp 2: \(S = - 4{m^2} - 6m\left( {m - \sqrt {{m^2} + 1} } \right)\)\( = - 10{m^2} + 6m\sqrt {{m^2} + 1} .\)

Áp dụng bất đẳng thức \(2ab \le {a^2} + {b^2}\) ta có:

\(6m\sqrt {{m^2} + 1} = 2.\left( {3m} \right).\sqrt {{m^2} + 1} \le 9{m^2} + {m^2} + 1 = 10{m^2} + 1\)

\( \Rightarrow S \le - 10{m^2} + 10{m^2} + 1 = 1.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S\) là 1, dấu bằng xảy ra khi \(m = \pm \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10