Biết phương trình \({x^2} - 2mx - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn biểu thức

Câu hỏi số 382095:

Vận dụng cao

Biết phương trình \({x^2} - 2mx - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn biểu thức \(S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.

A. \(7\)

B. \(5\)

C. \(3\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:382095

Phương pháp giải

Sử dụng bất thẳng thức \(2ab \le {a^2} + {b^2}\) tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

\({x^2} - 2mx - 1 = 0\).

\(\Delta ' = {m^2} + 1 > 0,\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

\(x = m \pm \sqrt {{m^2} + 1} .\)

Vì \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình nên:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 2m{x_1} - 1 = 0\\x_2^2 - 2m{x_2} - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 1 = 2m{x_1}\\x_2^2 - 4 = 2m{x_2} - 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right) = 2m{x_1}\left( {2m{x_2} - 3} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{m^2}{x_1}{x_2} - 6m{x_1} = - 4{m^2} - 6m{x_1}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 4{m^2} - 6m\left( {m \pm \sqrt {{m^2} + 1} } \right).\end{array}\)

Trường hợp 1: \(S = - 4{m^2} - 6m\left( {m + \sqrt {{m^2} + 1} } \right)\)\( = - 10{m^2} - 6m\sqrt {{m^2} + 1} .\)

Áp dụng bất đẳng thức \(2ab \le {a^2} + {b^2}\) ta có:

\( - 6m\sqrt {{m^2} + 1} = 2.\left( { - 3m} \right).\sqrt {{m^2} + 1} \le 9{m^2} + {m^2} + 1 = 10{m^2} + 1\)

\( \Rightarrow S \le - 10{m^2} + 10{m^2} + 1 = 1.\)

Trường hợp 2: \(S = - 4{m^2} - 6m\left( {m - \sqrt {{m^2} + 1} } \right)\)\( = - 10{m^2} + 6m\sqrt {{m^2} + 1} .\)

Áp dụng bất đẳng thức \(2ab \le {a^2} + {b^2}\) ta có:

\(6m\sqrt {{m^2} + 1} = 2.\left( {3m} \right).\sqrt {{m^2} + 1} \le 9{m^2} + {m^2} + 1 = 10{m^2} + 1\)

\( \Rightarrow S \le - 10{m^2} + 10{m^2} + 1 = 1.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S\) là 1, dấu bằng xảy ra khi \(m = \pm \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.