Biết \(I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 9} \right)dx} = a\ln 5 + b\ln 3 + c\) trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\)

Câu hỏi số 382609:

Vận dụng

Biết \(I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 9} \right)dx} = a\ln 5 + b\ln 3 + c\) trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực. Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + c.\)

A. \(T = 10\)

B. \(T = 11\)

C. \(T = 9\)

D. \(T = 8\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:382609

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến và phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân.

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 9} \right)dx} = a\ln 5 + b\ln 3 + c\)

Đặt \({x^2} + 9 = t \Rightarrow 2xdx = dt \Leftrightarrow xdx = \frac{1}{2}dt.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 9\\x = 4 \Rightarrow t = 25\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_9^{25} {\ln t.\frac{1}{2}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_9^{25} {\ln tdt} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{t}dt\\v = t\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left[ {\left. {t\ln t} \right|_9^{25} - \int\limits_9^{25} {t.\frac{1}{t}dt} } \right] = \frac{1}{2}\left( {25\ln 25 - 9\ln 9 - \left. t \right|_9^{25}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {50\ln 5 - 18\ln 3 - 25 + 9} \right) = 25\ln 5 - 9\ln 3 - 8\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 25\\b = - 9\\x = - 8\end{array} \right. \Rightarrow T = a + b + c = 25 - 9 - 8 = 8.\end{array}\)

Chọn D.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.