Cho \(x > 0,\,\,x \ne 1\). Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển Niu-tơn của \(P = {\left(

Câu hỏi số 382646:

Vận dụng

Cho \(x > 0,\,\,x \ne 1\). Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển Niu-tơn của \(P = {\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x - \sqrt x }}} \right)^{20}}\).

A. \(125970\)

B. \(1600\)

C. \(167960\)

D. \(38760\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:382646

Phương pháp giải

- Sử dụng các hằng đẳng thức rút gọn biểu thức \(P\).

- Sử dụng khai triển Niu-tơn: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}P = {\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x - \sqrt x }}} \right)^{20}}\\P = {\left( {\dfrac{{{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^3} + {1^3}}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1}} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {1^2}}}{{x - \sqrt x }}} \right)^{20}}\\P = {\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt[3]{x} + 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1} \right)}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x} + 1}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right)^{20}}\\P = {\left( {\sqrt[3]{x} + 1 - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}} \right)^{20}}\\P = {\left( {\sqrt[3]{x} + 1 - 1 - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^{20}}\\P = {\left( {\sqrt[3]{x} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^{20}}\\P = {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} - {x^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^{20}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}P = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k{{\left( {{x^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{20 - k}}} {\left( { - {x^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^k}\\P = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^{\frac{{20 - k}}{3}}}} {x^{ - \frac{k}{2}}}\\P = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^{\frac{{40 - 5k}}{6}}}} \end{array}\)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với \(40 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 8\).

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên là: \(C_{20}^8{\left( { - 1} \right)^8} = 125970\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.