Cho đường tròn \(\left( O \right)\) ngoại tiếp tam giác nhọn \(ABC\) với \(AB < AC.\) Gọi \(I\) là

Câu hỏi số 383303:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) ngoại tiếp tam giác nhọn \(ABC\) với \(AB < AC.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC.\) Đường thẳng \(AI\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(J\) khác \(A.\) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IBJ\)cắt đường thẳng \(AB\) tại \(M\) khác \(B\)và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ICJ\)cắt đường thẳng \(AC\) tại \(N\) khác \(C.\)

a) Chứng minh rằng \(\angle BJM = \angle CJN\) và ba điểm \(M,I,N\)thẳng hàng.

b) Chứng minh \(JA\)là tia phân giác của \(\angle BJN\)và \(OA\) vuông góc với \(MN\).

c) Tia phân giác của góc \(\angle BAC\)cắt \(MN\) tại \(E\). Tia phân giác của các góc \(\angle BME\) và \(\angle CNE\) lần lượt cắt \(BE,\,\,CE\) tại \(P,\,\,Q.\) Chứng minh \(PB.QE = PE.QC\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383303

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng suy ra hai góc tương ứng bằng nhau.

b) Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.

c) Sử dụng tính chất đường phân giác và tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng.

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng: \(\angle BJM = \angle CJN\) và ba điểm \(M,\,\,I,\,\,N\) thẳng hàng.

Tứ giác \(ABJC\) nội tiếp nên \(\widehat {JCN} = \widehat {MBJ}\).

Tứ giác \(NCJI\)nội tiếp nên \(\widehat {JIC} = \widehat {JNC} \Rightarrow \widehat {JNC} = \widehat {BMJ}\).

Do đó \(\Delta BJM \sim \Delta CJN \Rightarrow \widehat {BJM} = \widehat {CJN}\).
Ta lại có: \(\widehat {BIM} = \widehat {BJM},\widehat {CIN} = \widehat {CJN} \Rightarrow \widehat {BIM} = \widehat {CIN}\).

Suy ra \(M,I,N\)thẳng hàng.

b) Chứng minh \(JA\) là tia phân giác của \(\angle BJN\) và \(OA \bot MN.\)

Ta có: \(ABJC\)và \(CNIJ\)là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AJB} = \widehat {ACB} = \widehat {NCI};\widehat {NCI} = \widehat {NJI}\)

suy ra \(\widehat {AJB} = \widehat {AJN} \Rightarrow JA\)là tia phân giác của \(\widehat {BJN}\).

Kẻ tiếp tuyến \(At\)của đường tròn (O) . Suy ra \(\widehat {AJB} = \widehat {BAx}\).

Ta lại có : \(\widehat {AJB} = \widehat {BMN}\), do đó \(\widehat {BAx} = \widehat {BMN}\)nên \(MN\,{\rm{//}}\,At.\)

Vậy \(AO \bot MN\)

c) Tia phân giác của \(\angle BAC\) cắt \(MN\) tại \(E.\) Tia phân giác của các góc \(\angle BME\) và \(\angle CNE\) lần lượt cắt \(BE,\,\,CE\) tại \(P,\,\,Q.\) Chứng minh \(PB.QE = PE.QC.\)

Vì \(\Delta BJM \sim \Delta CJN \Rightarrow \frac{{{S_{BJM}}}}{{{S_{CJN}}}} = \frac{{M{B^2}}}{{C{N^2}}}\).

Vì I là trung điểm của BC nên \({S_{ABJ}} = {S_{ACJ}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 = \frac{{{S_{ABJ}}}}{{{S_{ACJ}}}} = \frac{{{S_{ABJ}}}}{{{S_{BJM}}}}.\frac{{{S_{CJN}}}}{{{S_{ACJ}}}}.\frac{{{S_{BJM}}}}{{{S_{CJN}}}} = \frac{{AB}}{{MB}}.\frac{{NC}}{{AC}}.\frac{{M{B^2}}}{{N{C^2}}} = \frac{{AB.MB}}{{AC.CN}}\\ \Rightarrow \frac{{MB}}{{NC}} = \frac{{AC}}{{AB}}.\end{array}\)

Ta lại có \(MBIJ,NCJI\)nội tiếp nên \(AB.AM = AI.AJ = AN.AC \Rightarrow \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AN}}.\)

Suy ra \(\frac{{MB}}{{NC}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{EM}}{{EN}} \Rightarrow \frac{{MB}}{{ME}} = \frac{{NC}}{{NE}}\).

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{MB}}{{ME}} = \frac{{PB}}{{PE}};\frac{{QC}}{{QE}} = \frac{{NC}}{{NE}}\)

\( \Rightarrow \frac{{PB}}{{PE}} = \frac{{QC}}{{QE}} \Rightarrow PB.QE = PE.QC\).

Hoàn tất chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link