Trên mặt phẳng cho 17 điểm phân biệt. trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Giữa hai điểm

Câu hỏi số 383304:

Vận dụng cao

Trên mặt phẳng cho 17 điểm phân biệt. trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Giữa hai điểm bất kỳ trong ba điểm đã cho ta nối một đoạn thẳng và trên đoạn thẳng đó ghi một số nguyên dương (các số ghi trên các đoạn thẳng là các số nguyên dương khác nhau). Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có cạnh là các đoạn thẳng đã nối mà tổng các số ghi trên 3 cạnh của tam giác đó chia hết cho 3.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383304

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lý Dirichlet.

Giải chi tiết

Ứng với số dư khi chia cho 3 của số nguyên dương được viết trên đoạn thẳng (một số nguyên dương khi chia cho 3 có thể dư \(0;1;2\)), ta tô màu các đoạn thẳng bằng 3 màu đỏ, xanh, vàng. Ta sẽ chứng minh tồn tại một tam giác có ba cạnh được tô cùng màu.

Gọi A là một điểm đã cho, nối A với 16 điểm còn lại ta được 16 đoạn thẳng.

Ta có: \(16 = 3.5 + 1\) nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất 6 đoạn thẳng được tô cùng màu.

Giả sử 6 đoạn thẳng đó là \(AB,AC,AD,AE,AF,AG\)có cùng màu đỏ.

Xét các đoạn thẳng nối từng cặp điểm trong 6 điểm \(B,C,D,E,F,G\)thì xảy ra trường hợp sau:

TH1: Tồn tại một đoạn thẳng được tô màu đỏ, chẳng hạn là BC thì tam giác ABC có ba cạnh cùng màu đỏ

TH2: Tất cả các đoạn thẳng nối \(B,C,D,E,F,G\)chỉ có màu xanh hoặc vàng.

Ta xét 5 đoạn thẳng \(BC,BD,BE,BF,BG\)được tô bởi 2 màu thì theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất 3 đoạn thẳng có cùng một màu. Giả sử \(BC,BD,BE\)có cùng màu xanh.

+) Nếu trong ba đoạn thẳng \(CD,CE,DE\)có một đoạn tô màu xanh, chẳng hạn CD thì tam giác BCD có ba cạnh cùng màu xanh.

+) Nếu trong ba đoạn thẳng \(CD,CE,DE\)không có đoạn nào tô màu xanh, thì tam giác CDE có ba cạnh màu vàng.

Do vậy tồn tại một tam giác có ba cạnh tô cùng màu, đó chính là tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link