Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\left( {AB < AC} \right).\) Tia \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\left( {AB < AC} \right).\) Tia \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\left( {D \in AC} \right)\). Trên cạnh \(BC,\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BA.\).
a) Chứng minh : \(\Delta ABD = \Delta EBD\) và \(DE \bot BC.\)
b) \(BA\) và \(ED\) cắt nhau tại \(F.\) Chứng minh : \(\Delta DAF = \Delta DEC\) và \(BF = BC.\)
c) Gọi \(H\) là giao điểm của \(BD\) và \(FC.\) Chứng minh : \(BH\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(FC.\)
d) Gọi \(M\) là trung điểm của \(EC.\) Trên tia đối của tia \(MF\) lấy điểm \(K\) sao cho \(MK = MF.\)
Chứng minh : ba điểm \(A,\,E,\,K\) thẳng hàng.
Quảng cáo
- Nhớ lại kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông rồi chứng minh.
Chú ý : Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh và cặp góc tương ứng bằng nhau.
- Đường trung trực của một đoạn thẳng thì vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
- Sử dụng tiên đề Ơclit chứng minh ba điểm thẳng hàng: Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
a) Chứng minh : \(\Delta ABD = \Delta EBD\) và \(DE \bot BC.\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\) có
Cạnh \(BD\) chung.
\(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (\(BD\) là tia phân giác của góc \(B\))
\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta EBD\left( {ch - gn} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DEB}\) (cặp góc tương ứng)
Mà \(\widehat {DAB} = 90^\circ \left( {gt} \right)\) nên \(\widehat {DEB} = 90^\circ \) hay \(DE \bot BC\)(đpcm)
b) \(BA\) và \(ED\) cắt nhau tại \(F.\) Chứng minh : \(\Delta DAF = \Delta DEC\) và \(BF = BC.\)
Từ câu a, \(\Delta ABD = \Delta EBD\)\( \Rightarrow DA = DE\) (cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông \(\Delta DAF\) và \(\Delta DEC\) ta có :
\(DA = DE\) (chứng minh trên)
\(\widehat {FDA} = \widehat {CDE}\) (cặp góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta DAF = \Delta DEC\left( {gn - cgv} \right)\)
\( \Rightarrow AF = CE\) (cặp cạnh tương ứng)
Mà \(BA = BE\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow AF + AB = CE + BE\) hay \(BF = BC.\)
c) Gọi \(H\) là giao điểm của \(BD\) và \(FC.\) Chứng minh : \(BH\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(FC.\)
Xét tam giác \(BHC\) và \(BHF\) có :
\(BH\) là cạnh chung
\(\widehat {CBH} = \widehat {FBH}\left( {gt} \right)\)
\(BC = BF\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta BHC = \Delta BHF\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow CH = FH\) (cạnh tương ứng) (1)
\(\angle CHB = \angle FHB\) (góc tương ứng)
Mà \(\angle CHB + \angle FHB = {180^0}\) nên \(\angle CHB = \angle FHB = {90^0}\)\( \Rightarrow BH \bot CF\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BH\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(CF\) (định nghĩa đường trung trực).
d) Gọi \(M\) là trung điểm của \(EC.\) Trên tia đối của tia \(MF\) lấy điểm \(K\) sao cho \(MK = MF.\)
Chứng minh : ba điểm \(A,\,E,\,K\) thẳng hàng.
Xét \(\Delta MCF\) và \(\Delta MEK\) có:
\(\begin{array}{l}MC = ME\left( {gt} \right)\\MK = MF\left( {gt} \right)\end{array}\)
\(\widehat {CMF} = \widehat {EMK}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta MCF = \Delta MEK\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {MKE} = \widehat {MFC}\) (góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(EK//CF\) (1)
Nối \(E\) với \(A\) cắt \(BD\) tại \(N\).
Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta EBN\) có:
\(\begin{array}{l}BA = BE\left( {gt} \right)\\\widehat {ABN} = \widehat {EBN}\left( {gt} \right)\\BN\,chung\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta ABN = \Delta EBN\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {ANB} = \widehat {ENB}\) (góc tương ứng)
Mà \(\widehat {ANB} + \widehat {ENB} = {180^0}\) nên \(\widehat {ANB} = \widehat {ENB} = {90^0}\)\( \Rightarrow AE \bot BN\) hay \(AE \bot BH\)
Mà \(CF \bot BH\left( {cmt} \right)\) nên \(AE//CF\) (từ vuông góc đến song song)
Ta có: \(AE//CF,EK//CF\) nên theo tiên đề Ơ clit, có một và chỉ một đường thẳng đi qua \(E\) và song song \(CF\).
Vậy ba điểm \(A,E,K\) thẳng hàng (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
