Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AD = 2AB\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\)

Câu hỏi số 384360:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AD = 2AB\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(\left( {ABCD} \right)\). Biết diện tích tam giác \(SAB\) bằng \(1\) và khoảng cách từ \(B\) tới mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) bằng \(\sqrt 2 \). Tính diện tích hình chữ nhật \(ABCD\).

A. \(72\)

B. \(16\)

C. \(8\)

D. \(32\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384360

Phương pháp giải

- Xác định điểm \(H\).

- Xác định khoảng cách từ \(B\) đến \(\left( {SAD} \right)\).

- Đặt \(AB = x \Rightarrow AD = 2x\).

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(SAB\), tính \(SH\) theo \(x\).

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tìm \(x\) và tính diện tích \(ABCD\).

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot AB\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Đặt \(AB = x \Rightarrow AD = 2x\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(HK \bot SA\,\,\left( {K \in SA} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot HK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot AD\\HK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAD} \right)} \right) = HK\).

Ta có: \(BH \cap \left( {SAD} \right) = A\) \( \Rightarrow \frac{{d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAD} \right)} \right)}} = \frac{{BA}}{{HA}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAD} \right)} \right) = 2HK\).

\( \Rightarrow 2HK = \sqrt 2 \Leftrightarrow HK = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có \({S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}SH.AB = 1\) \( \Leftrightarrow SH = \frac{2}{x}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHA\) có đường cao \(HK\) ta có:

\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{A^2}}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{x}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}}\) \( \Leftrightarrow 2 = \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{4}{{{x^2}}}\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{4}{{{x^2}}} \ge 2\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{4}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^4} = 16 \Leftrightarrow x = 2\).

\( \Rightarrow AB = 2,\,\,AD = 4\).

Vậy \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2.4 = 8\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.