Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 2;4} \right)\), \(B\left( { -

Câu hỏi số 384361:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 2;4} \right)\), \(B\left( { - 3;3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 8 = 0\). Xét điểm \(M\) thay đổi trên \(\left( P \right)\), giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) bằng:

A. \(145\)

B. \(108\)

C. \(105\)

D. \(135\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384361

Phương pháp giải

- Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \), xác định tọa độ điểm \(I\).

- Chứng minh \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI\) nhỏ nhất, từ đó tính GTNN của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {2 - x; - 2 - y;4 - z} \right)\\\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {IB} = \left( { - 3 - x;3 - y; - 1 - z} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \left( { - 5 - 5x;5 - 5y;5 - 5z} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 - 5x = 0\\5 - 5y = 0\\5 - 5z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1;1} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,2M{A^2} + 3M{B^2}\\ = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 2I{A^2} + 3M{I^2} + 6\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + 3I{B^2}\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right) + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right)\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right)\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = {3^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + {3^2} = 27\\I{B^2} = {\left( { - 2} \right)^2} + {2^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 12\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2I{A^2} + 3I{B^2} = 90\) không đổi nên \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow 5M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI\) nhỏ nhất.

Mà \(M \in \left( P \right)\)\( \Rightarrow M{I_{\min }} = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\)\( = \frac{{\left| {2\left( { - 1} \right) - 1 + 2.1 - 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{9}{3} = 3\).

Vậy \({\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} = {5.3^2} + 90 = 135\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.