Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\); thỏa mãn

Câu hỏi số 384367:

Vận dụng

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\); thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right) = 0\) và \({e^{f\left( x \right)}}f'\left( x \right) = 2x + 1\) với mọi \(x \ge 1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(0 < f'\left( 4 \right) < 2\)

B. \(2 < f'\left( 4 \right) < 3\)

C. \(3 < f'\left( 4 \right) < 4\)

D. \( - 1 < f'\left( 4 \right) < 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384367

Phương pháp giải

- Lấy nguyên hàm hai vế, tìm \(f\left( x \right)\).

- Tính \(f'\left( x \right)\) sau đó tính \(f'\left( 4 \right)\).

Giải chi tiết

\({e^{f\left( x \right)}}f'\left( x \right) = 2x + 1 \Leftrightarrow \left( {{e^{f\left( x \right)}}} \right)' = 2x + 1\).

Lấy nguyên hàm hai vế ta được \({e^{f\left( x \right)}} = {x^2} + x + C\).

Vì \(f\left( 1 \right) = 0\) nên \({e^{f\left( 1 \right)}} = 2 + C \Leftrightarrow 2 + C = 1 \Leftrightarrow C = - 1\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {e^{f\left( x \right)}} = {x^2} + x - 1\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \ln \left( {{x^2} + x - 1} \right)\,\,\,\left( {x \ge 1} \right)\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x - 1}}\\ \Rightarrow f'\left( 4 \right) = \frac{5}{5} = 1\end{array}\)

Vậy \(0 < f'\left( 4 \right) < 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.