Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\,\,B\left( {5;6;1} \right).\) Biết \(M\left(

Câu hỏi số 384527:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\,\,B\left( {5;6;1} \right).\) Biết \(M\left( {a;b;0} \right)\) sao cho tổng \(MA + MB\) nhỏ nhất. Tính độ dài đoạn \(OM.\)

A. \(OM = \sqrt {34} .\)

B. \(OM = \sqrt {41} .\)

C. \(OM = \sqrt {43} .\)

D. \(OM = \sqrt {14} .\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384527

Phương pháp giải

- Nhận xét: \(A,\,\,B\) nằm cùng phía đối với \(\left( {Oxy} \right)\), điểm \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\).

- Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua , xác định tọa độ điểm \(A\).

- Sử dụng tính chất đối xứng và BĐT tam giác: \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).

- Xác định dấu “=” xảy ra, tìm tọa độ điểm \(M\) và tính \(OM\).

Giải chi tiết

Dễ thấy hai điểm \(A,\,\,B\) nằm cùng phía đối với \(\left( {Oxy} \right)\), điểm \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( {Oxy} \right)\)\( \Rightarrow A'\left( {1;2; - 3} \right)\).

Theo tính chất đối xứng ta có: \(MA = MA'\).

Do đó \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\) (Bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra \( \Rightarrow M \in A'B\). Hay \(M,\,\,A',\,\,B\) thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {A'M} ;\,\,\overrightarrow {A'B} \) cùng phương.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {A'M} = \left( {a - 1;b - 2;3} \right)\\\overrightarrow {A'B} = \left( {4;4;4} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \dfrac{{a - 1}}{4} = \dfrac{{b - 2}}{4} = \dfrac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 5\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow M\left( {4;5;0} \right)\). Vậy \(OM = \sqrt {{4^2} + {5^2} + {0^2}} = \sqrt {41} \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.