Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và thể tích bằng

Câu hỏi số 384535:

Vận dụng

Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và thể tích bằng \(\dfrac{{{a^3}}}{{2\sqrt 3 }}.\) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.

A. \({45^0}.\)

B. \({75^0}.\)

C. \({60^0}.\)

D. \({30^0}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384535

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa mặt bên và đáy.

- Sử dụng công thức thể tích tính chiều cao của khối chóp.

- Áp dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = {a^2}\) và \(AC = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{3}.SO.{a^2}\)\( \Leftrightarrow SO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) suy ra \(SM \bot AB\).

\(OM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow OM\parallel BC \Rightarrow OM \bot AB\) và \(OM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}a\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SM \bot AB\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot AB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;OM} \right)\)\( = \angle SMO\).

Xét tam giác vuông \(SOM\) có: \(\tan \angle SMO = \dfrac{{SO}}{{OM}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \sqrt 3 \).

Vậy \(\angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SMO = {60^0}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.