Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a,\) cạnh bên bằng \(2a.\) Gọi \(H\)

Câu hỏi số 384601:

Vận dụng

Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a,\) cạnh bên bằng \(2a.\) Gọi \(H\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và\(A'C'.\) Gọi \(M\) là điểm nằm trên cạnh \(A'B'\) sao cho \(MA' = 2MB'.\) Tính khoảng cách từ điểm \(H\) đến mặt phẳng \(\left( {AMN} \right).\)

A. \(\dfrac{{6\sqrt {59} }}{{59}}a.\)

B. \(\dfrac{{3\sqrt {66} }}{{44}}a.\)

C. \(\dfrac{{6\sqrt {179} }}{{179}}a.\)

D. \(\dfrac{{3\sqrt {165} }}{{110}}a.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384601

Phương pháp giải

- Tính thể tích khối chóp \(A.HMN\).

- Tính diện tích tam giác \(AMN\).

- Tính khoảng cách \(d\left( {H,\left( {AMN} \right)} \right)\) dựa vào thể tích và diện tích vừa tính được ở trên.

Giải chi tiết

Ta có: \({S_{A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow {S_{A'MN}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{S_{A'B'C'}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)

\(\begin{array}{l}{S_{C'HN}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.{S_{C'A'B'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\\{S_{B'.HM}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.{S_{B'A'C'}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{24}}\end{array}\)

\( \Rightarrow {S_{HMN}} = {S_{A'B'C'}} - {S_{A'MN}} - {S_{C'HN}} - {S_{B'.HM}}\)\( = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}} - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} - \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{24}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\)

Thể tích \({V_{A.HMN}} = \dfrac{1}{3}AA'.{S_{HMN}} = \dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

Lại có: \(M{N^2} = A'{M^2} + A'{N^2} - 2A'M.A'N\cos {60^0}\)

\( = \dfrac{{4{a^2}}}{9} + \dfrac{{{a^2}}}{4} - 2.\dfrac{{2a}}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{13{a^2}}}{{36}}\)\( \Rightarrow MN = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{6}\)

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A'\) lên \(MN\) thì \(MN \bot \left( {A'AK} \right) \Rightarrow MN \bot AK\)

\(A'K = \dfrac{{2{S_{A'MN}}}}{{MN}} = \dfrac{{2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\dfrac{{a\sqrt {13} }}{6}}} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\)\( \Rightarrow AK = \sqrt {AA{'^2} + A'{K^2}} = \sqrt {4{a^2} + \dfrac{{39{a^2}}}{{169}}} = \dfrac{{a\sqrt {715} }}{{13}}\)

\( \Rightarrow {S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}AK.MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {715} }}{{13}}.\dfrac{{a\sqrt {13} }}{6} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {55} }}{{12}}\)

\( \Rightarrow d\left( {H,\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{H.AMN}}}}{{{S_{AMN}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {55} }}{{12}}}} = \dfrac{{3a\sqrt {165} }}{{110}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.