Cho hai con lắc lò xo nằm ngang \(\left( {{k_1},{m_1}} \right)\) và \(\left( {{k_2},{m_2}} \right)\) như hình

Câu hỏi số 385231:

Vận dụng cao

Cho hai con lắc lò xo nằm ngang \(\left( {{k_1},{m_1}} \right)\) và \(\left( {{k_2},{m_2}} \right)\) như hình vẽ. Trục dao động M và N cách nhau \(9cm\) . Lò xo \({k_1}\) có độ cứng \(100N/m\), chiều dài tự nhiên \({l_1} = 35cm\). Lò xo \({k_2}\) có độ cứng \(25N/m\), chiều dài tự nhiên \({l_2} = 26cm\). Hai vật có cùng khối lượng \(m\). Thời điểm ban đầu \(\left( {t = 0} \right)\), giữ lò xo \({k_1}\) dãn một đoạn \(3cm\), lò xo \({k_2}\) nén một đoạn \(6cm\) rồi đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hòa. Bỏ qua ma sát. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động xấp xỉ bằng?

A. \(13cm.\)

B. \(9cm.\)

C. \(10cm.\)

D. \(11cm.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:385231

Phương pháp giải

+ Viết phương trình dao động của hai vật : \({x_{1}};{x_2}\)

+ Khoảng cách giữa hai vật theo phương ngang : \(\Delta x = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)

+ Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là : \({d_{\min }} = \sqrt {M{N^2} + \Delta {x_{{{\min }^2}}}} {\rm{ }}\)

Giải chi tiết

Cách giải :

- Tần số góc của vật 1 và vật 2 là :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\omega _1} = \sqrt {\dfrac{{{k_1}}}{m}} = \sqrt {\dfrac{{100}}{m}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt m }}}\\{{\omega _2} = \sqrt {\dfrac{{{k_2}}}{m}} = \sqrt {\dfrac{{25}}{m}} = \dfrac{5}{{\sqrt m }}}\end{array}} \right. \Rightarrow {\omega _1} = 2{\omega _2}\)

- Lò xo \({k_1}\) có chiều dài tự nhiên \({l_{1}} = {\rm{ }}35cm\)

Lò xo \({k_2}\) có chiều dài tự nhiên \({l_2} = {\rm{ }}26cm\)

\( \Rightarrow \) Vị trí cân bằng của hai lò xo cách nhau theo phương ngang 1 đoạn : \(35{\rm{ }}--{\rm{ }}26{\rm{ }} = {\rm{ }}9cm\)

- Thời điểm ban đầu (t = 0), giữ lò xo \({k_1}\) dãn một đoạn \(3cm\), lò xo \({k_2}\) nén một đoạn \(6cm\) rồi đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hoà.

Chọn gốc toạ độ trùng với VTCB của lò xo \({k_1}\).

\( \Rightarrow \) Phương trình dao động điều hoà của hai vật :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 3\cos \left( {{\omega _1}t} \right) = 3\cos \left( {2.{\omega _2}t} \right)}\\{{x_2} = - 9 + 6\cos \left( {{\omega _2}t + \pi } \right) = - 9 - 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \) Khoảng cách giữa hai vật theo phương ngang trong quá trình dao động là :

\(\Delta x = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {3\cos \left( {2.{\omega _2}t} \right) + 9 + 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right)} \right|\)

Vì :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
\cos \left( {2.{\omega _2}t} \right) = 2{\cos ^2}\left( {{\omega _2}t} \right) - 1 \hfill \\
\Rightarrow \Delta x = \left| {3\left( {2{{\cos }^2}\left( {{\omega _2}t} \right) - 1} \right) + 9 + 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right)} \right| \hfill \\
\end{gathered} \\
{ \Rightarrow \Delta x = \left| {6.{{\cos }^2}\left( {{\omega _2}t} \right) + 6\cos \left( {{\omega _2}t} \right) + 6} \right|}
\end{array}\)

Đặt : \(a = \cos \left( {{\omega _2}t} \right) \Rightarrow \Delta x = \left| {6.{a^2} + 6a + 6} \right|\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
6.{a^2} + 6a + 6 = 6\left( {{a^2} + a + 1} \right)\\
= 6\left[ {{{\left( {a + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right] = 6.{\left( {a + \frac{1}{2}} \right)^2} + 4,5\\
6.{\left( {a + \frac{1}{2}} \right)^2} + 4,5 \ge 4,5\\
\Rightarrow {\left( {6.{a^2} + 6a + 6} \right)_{\min }} = 4,5\\
\Rightarrow \Delta {x_{\min }} = 4,5cm
\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật trong quá trình dao động là :

\({d_{\min }} = \sqrt {M{N^2} + \Delta {x_{{{\min }^2}}}} = \sqrt {{9^2} + 4,{5^2}} = 10,06cm\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.