Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(3a\). Hình chiếu của
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(3a\). Hình chiếu của điểm \(A'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(H\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(BH = 2HC\). Cạnh bên tạo với đáy góc bằng \({60^0}\). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Khối nón cụt có đáy lớn \(R\), đáy nhỏ \(r\), chiều cao \(h\) có thể tích \(V = \frac{1}{3}\pi h\left( {{R^2} + {r^2} + Rr} \right)\).
Vì \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AH\) là hình chiếu của \(A'H\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
Suy ra \(\angle \left( {A'A;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'A;AH} \right)\) \( = \angle A'AH = {60^0}\).
Xét tam giác \(ABH\) có \(\angle ABH = \angle ABC = {60^0}\) (do tam giác \(ABC\) đều), \(AB = 3a,\) \(BH = \frac{2}{3}BC = 2a\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ta có:
\(\begin{array}{l}A{H^2} = A{B^2} + B{H^2} - 2AB.BH.\cos \angle ABH\\A{H^2} = {\left( {3a} \right)^2} + {\left( {2a} \right)^2} - 2.3a.2a.\cos {60^0}\\A{H^2} = 7{a^2}\end{array}\)
\( \Rightarrow AH = a\sqrt 7 \).
Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AH\) \( \Rightarrow \Delta A'AH\) vuông tại \(H\).
\( \Rightarrow A'H = AH.tan{60^0}\)\( = a\sqrt 7 .\sqrt 3 = a\sqrt {21} \).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(3a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{\left( {3a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}A'H.{S_{\Delta ABC}}\) \( = a\sqrt {21} .\frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27\sqrt 7 {a^3}}}{4}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
