Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau: Xét hàm số

Câu hỏi số 385318:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {7^{f\left( {{x^2} + x} \right)}}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(h'\left( x \right) > 0\) là:

A. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\)

B. \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

C. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};2} \right)\)

D. \(\left( { - 2; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:385318

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm hàm mũ: \(\left( {{a^u}} \right)' = u'{a^u}\ln a\).

- Giải bất phương trình.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(h\left( x \right) = {7^{f\left( {{x^2} + x} \right)}}\) \( \Rightarrow h'\left( x \right) = {7^{f\left( {{x^2} + x} \right)}}\ln 7.f'\left( {{x^2} + x} \right).\left( {2x + 1} \right)\).

Do đó \(h'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow f'\left( {{x^2} + x} \right).\left( {2x + 1} \right) > 0\) (do \({7^{f\left( {{x^2} + x} \right)}}\ln 7 > 0\,\,\forall x\)).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x^2} + x} \right) > 0\\2x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x^2} + x < - 1\\{x^2} + x > 2\end{array} \right.\\x > - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 2\end{array} \right.\\x > - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x^2} + x} \right) < 0\\2x + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < {x^2} + x < 2\\x < - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < x < 1\\x < - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < x < - \dfrac{1}{2}\).

\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 2; - \dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - 2; - \dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.